Таблица векторного произведения векторов
Пусть заданы два вектора и , такие, что ,
Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: .
Проверим, является ли векторное пространство линейной алгеброй.
Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра.
Проверим, является ли ассоциативной алгеброй.
Следовательно, не является ассоциативной алгеброй.
Проверим, является ли коммутативной алгеброй.
, такие образом, .
Следовательно, не является коммутативной алгеброй.
Замечание: является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.
2. Множество квадратных матриц над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц
.
Замечание: является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей .
3. Тело кватернионов К над полем . Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.
,
где - мнимые единицы со следующей таблицей умножения:
Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:
|
|
Определение: Кватернион называется сопряженным к .
Определение: называется модулем кватерниона .
Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.
Рассмотрим базис:
Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:
Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:
,
здесь - комплексно-сопряженные числа к .
Основные свойства.
1. комплексному числу соответствует диагональная матрица;
2. сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица .
3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы .
Докажем это свойство:
Следовательно, .
Проверим, является ли алгеброй.
1. - векторное пространство?
а). - абелева группа?
1).
2).
3).
4).
Из 1) - 4) следует, что - абелева группа.
б).
в).
г).
д).
Из а) - д) следует, что - векторное пространство.
2.
Аналогично проверяется, что
3.
Аналогично проверяется, что .
Из 1-3 следует, что - алгебра над полем .
Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем .
4. Алгебра Грассмана над полем .
Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов , обладающих свойствами:
(a) *свойство антикоммутативности* (1)
(b) любое другое соотношение между образующими элементами является следствием соотношения (1), в частности
Обозначение: - алгебра Грассмана с образующими элементами.
|
|
Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.
Начнем с алгебры . В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры есть .
Рассмотрим алгебру , содержащую два образующих элемента , причем . Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так: .
Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы принимают значения .
Заметим теперь, что любой моном , где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид:
(2)
где . По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом.
Следствия.
1. Любой моном, содержащий ровно сомножителей, равен с точностью до знака произведению .
2. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами
Подсчитаем число базисных элементов.
Число образующих равно , число мономов - числу сочетаний из элементов по 2, то есть , число мономов - числу сочетаний из элементов по 3, то есть , и так далее.
В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет
Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности .
Список литературы.
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.
3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.