Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов

 

1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ∆x:

                                                               dx = ∆х                                                (II)

Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,

dy = (x)' ∆x, или dy = ∆x.

Но так как

dy = dx, то dx = ∆x,

т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.

2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:

dy = f ’(x)*dx,

                                                                                                                         (III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента.

3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле;

dy = f '_u (x)* ∆u.

Но

f '_u (x)= f’_x (x)* x’_u

Значит,

dy = f’(x)—x'_u * ∆u.

Но так как,по определению,

x'_u ∆u = dx,

то, следовательно,

dy = f '(x)dx.

4°. Пример. Найти дифференциал функции:

                          _____________________

у = √ (e^2x—1).

Решение. По формуле (III)

dy = у'*dx.

Находим у':                                                      ________       ________

y’ = e^2x*2/(2√ (e^2x—1)) = e^2x/ √ (e^2x—1).

Значит                                                                             _______

dy = e^2x*dx/ √ (e^2x—1)

5°. Из формулы (III) следует;

f’(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)

для произвольного значения dx = MP.

 

Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям

1°. Разность ∆y—dy— бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x

	∆y ≈ dy =f '(х)∆x

(IV)

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.

Так как ∆у = f(х + ∆x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV ) ∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) - f(x) ≈ f '(x)* ∆x

	f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x)* ∆x

(V)

 

 

В математике производную применяют для:

1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.

2. Нахождения касательной к графику.

3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.

4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.

5. Для доказательства неравенств.