НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде суммы отрезков линейных характеристик. Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение [2]. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для кон-
ца одного участка является начальным условием для следующего
и т.д.
В результате решение нелинейного дифференциального уравнения заменяется решением совокупности линейных дифференциальных уравнений, соответствующих прямолинейным отрезкам линеаризованной характеристики.
В соответствии с определением данного метода, решение нелинейного уравнения включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Исходная нелинейная характеристика заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.
2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные параметры линейного уравнения.
|
|
3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.
Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида:
, (5)
где – выходная величина;
– входное воздействие;
– нелинейная функция, которую можно представить в виде суммы линейной и нелинейной частей.
Выберем для нелинейной функции два интервала линеаризации [ 0, y 1], [ 0, y 2] (рисунок 1), на которых нелинейная функция будет заменена совокупностью линейных функций по следующему правилу:
где – уравнение линейной характеристики;
ai, bi – коэффициенты линейного уравнения, подлежащие определению;
i – номер интервала линеаризации.
f 2 – нелинейная функция; – линейные функции
Рисунок 1 – Кусочная линеаризация нелинейной функции
Для определения коэффициентов линейных уравнений рассмотрим каждый интервал отдельно.
Для 1-го интервала линейная функция примет вид
.
В точке получим , откуда и .
В точке получим , откуда .
Таким образом, решение нелинейного уравнения (5) на 1-ом интервале сводится к решению линейного уравнения следующего вида:
Для 2-го интервала линейная функция примет вид
.
В точке получим , откуда .
В точке получим
,
откуда .
По аналогии коэффициенты линейного уравнения для -го интервала определяются по следующим соотношениям:
, .
Решение нелинейного дифференциального уравнения (5) заменяется совокупностью решений трех линеаризованных дифференциальных уравнений на отдельных интервалах.
Практическая часть
|
|
Осуществить кусочно-линейную линеаризацию на 3-х интервалах нелинейного уравнения, описывающего изменение уровня жидкости в гидравлической емкости при наличии притока и стока жидкости [1]:
,
где – объемная скорость притока жидкости;
– высота слоя жидкости в емкости;
– площадь поперечного сечения емкости;
– коэффициент пропускной способности дросселя на стоке жидкости.