Векторний добуток двох векторів

Як відомо із шкільного курсу фізики, моментом сили відносно точки називається добуток сили на довжину плеча (плече сили – це відрізок від точки до лінії дії сили ), тобто . Розглянемо силу , момент якої відносно точки треба знайти. Очевидно, момент буде повністю визначений, якщо будуть задані:

1) числові значення моменту, що дорівнює ;

2) площина, у якій лежать сила і точка ;

3) напрям, в якому діє сила.

Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора , якщо 1) ; 2) ( - площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв’язку

між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б – донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор (рис.2.13), то, враховуючи, що

Рис. 2.13а Рис.2.13б

, матимемо числове значення вектора :

а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку . Добуток можна трактувати як площу паралелограма, побудованого на векторах і .

Розглянемо впорядковану трійку векторів яка віднесена до спільного початку. Вектори утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від вектора до вектора проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор

називається такий третій вектор , довжина якого чисельно

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку.

З означення випливає, що довжина вектора становить

Векторний добуток на позначається символом

або .

Отже, в розглянутому прикладі про момент сили можна записати: або , а напрямок вектора , якщо

поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку.

До поняття векторного добутку приводять багато інших задач фізики і техніки. Наприклад, зв’язок між кутовою швидкістю обертання, лінійною швидкістю і радіусом обертання теж дається векторним добутком .

З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).

Умови колінеарності двох векторів і виглядає так: