Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: ,    где т>п

Решение:

Выразим переменную п  через переменную т:

 

Найдем делители числа 625:   т -25 Є 1; 5; 25; 125; 625  

 

1) если т -25 =1, то т =26, п =25+625=650

2)      т -25 =5, то т =30, п =150

3)      т -25 =25, то т =50, п =50

4)      т -25 =125, то т =150, п =30

5)      т -25 =625, то т =650, п =26

 

Ответ:      т =150, п =30

           т =650, п =26

 

 

2. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

 

 Решение:      тп +25 = 4т

1) выразим переменную т через п:

4т – тп =25

т(4-п) =25

т =

2) найдем натуральные делители числа 25:     (4-п) Є 1; 5; 25      

если 4-п =1,   то п =3,     т =25

     4-п =5,   то п =-1,    т =5 (посторонние корни)

     4-п =25, то п =-21,  т =1 (посторонние корни)

 

           Ответ: (25;3)

 

 

3.Найдите все пары (х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

х²  +у ²< 18х – 20у - 166,

32х - у² > х² + 12у + 271

 

Решение: Выделяя полные квадраты, получим:

 

(х-9)² + (у+10)²<15

(х-16)² + (у+6)² <21

 

Из первого и второго неравенства системы:

(х-9)² < 15         6≤ х ≤ 12            

(х-16)² < 21,      12≤ х ≤ 20,  х=12.

 

Подставляя х = 12 в систему, получим:

(у+10)² <  6            -2 ≤ у+10 ≤ 2   -12 ≤ у ≤ -8

(у+6)²  < 5              -2 ≤ у+6 ≤ 2    -8 ≤ у ≤ -4           у=-8

 

 

Ответ: (12; -8)

 

 

                             Заключение.

 

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.  

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки

 

В дальнейшем мы  планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач

 

                                 

                        Литература.

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва «Просвещение» 1985г.

2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.

3.   Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд»     2004г.

4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.

6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт        

                                                      педагогических измерений.

7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение  

             задач. Москва 1986г.