1. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.
2. Методы Рунге-Кутты различных порядков, общие свойства.
3. Погрешности методов Рунге-Кутты.
4. Выбор шага интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Графическая иллюстрация методов Рунге-Кутты.
Задание
1. Выбрать индивидуальное задание из табл.4-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
· дифференциальное уравнение ;
· интервал [a;b], где ищется решение дифференциального уравнения;
· начальные условия x0, y0;
· шаг интегрирования h .
2. Найти аналитическое решение y(x) заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.
3. Вычислить значения полученного решения на отрезке [a;b] с шагом h.
4. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера – функцию ye(x) в первых 4-х точках отрезка [a;b] с шагом h «расчетом вручную» (можно использовать математический пакет только как калькулятор). Оценить погрешности полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).
|
|
5. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера – функцию y1(x) во всех точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.
6. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 2 порядка – функцию y2(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.
7. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4 порядка – функцию y4(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.
Вычислить значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.
9. Графически проиллюстрировать полученные решения.
Варианты задания
Таблица 4-1
№ вар | Уравнение | x0 | y0 | h | a | b |
1 | y' = x y2 | 0 | -2 | 0.4 | 0 | 4 |
2 | y' = y2 (x2+ x + 1) | 0 | -2 | 0.2 | 0 | 2 |
3 | y' = x3 y2 | 0 | -2 | 0.2 | 0 | 2 |
4 | y' = y / cos2(x) | 0 | 1 | 0.1 | 0 | 1 |
5 | y' = y cos(x) | 0 | 1 | 0.5 | 0 | 5 |
6 | y' = y2cos(x) | 0 | -1 | 0.4 | 0 | 4 |
7 | y' = x2 y + y | 0 | 1 | 0.2 | 0 | 2 |
8 | y' = (x – 1)2 y2 | 0 | -1 | 0.5 | 0 | 5 |
9 | y' = x3 y | 0 | 1 | 0.2 | 0 | 2 |
10 | y' = y2 sin(x) | 0 | 0.5 | 0.2 | 0 | 2 |
11 | y' = y sin(x) | 0 | 1 | 0.4 | 0 | 4 |
12 | y' = x y | 0 | 1 | 0.2 | 0 | 2 |
13 | y' = y2 / x | 1 | 1 | 0.2 | 1 | 2 |
14 | y' = x2 y | 0 | 1 | 0.2 | 0 | 2 |
15 | y' = y2 (2 – x) | 0 | -1 | 0.4 | 0 | 4 |
16 | y' = 3 x2 y2 | 0 | -4 | 0.2 | 0 | 2 |
17 | y' = y2 (ex + 4x) | 0 | -1 | 0.4 | 0 | 4 |
18 | y' = y (x – 1) | 0 | 1 | 0.4 | 0 | 4 |
19 | y' = x (1 + y2) | 0 | 0 | 0.2 | 0 | 1.6 |
20 | y' = x / (2y) | 0 | 1 | 0.4 | 0 | 4 |
21 | y' = y / (3 x2) | 1 | 1 | 0.2 | 1 | 3 |
22 | y' = 4 x e-3y | 1 | 0 | 0.2 | 1 | 3 |
23 | y' = 2 x y | 0 | 1 | 0.2 | 0 | 2 |
24 | y' = 2 x (y1/2) | 0 | 1 | 0.4 | 0 | 4 |
25 | y' = y2 ex | 0 | -2 | 0.4 | 0 | 4 |
26 | y' = x (1 – y2)1/2 | 0 | 0 | 0.4 | 0 | 1.6 |
27 | y' = (1 + x) y | 0 | 1 | 0.2 | 0 | 2 |
28 | y' = x2 (1 – y2)1/2 | 0 | 0 | 0.4 | 0 | 1.6 |
29 | y' = (x2 + x) y2 | 0 | -1 | 0.4 | 0 | 4 |
30 | y' = y2 / cos2(x) | 0 | -1 | 0.3 | 0 | 1.5 |
31 | y' = y2sin x | 0 | 1 | 0.1 | 0 | 1 |
32 | y' = cos(x) y | 0 | 1 | 0.1 | 0 | 1 |
33 | y' = | 0 | 1 | 0.1 | 0 | 1 |
34 | y' = (x-1)2 y2 | 0 | 1 | 0.1 | 0 | 1 |
35 | y' = y2 cos(x) | 0 | -1 | 0.1 | 0 | 1 |
36 | y' = 0.5 y2 | 1 | 1 | 0.1 | 1 | 2 |
37 | y' = y2 x | 0 | -2 | 0.1 | 0 | 1 |
38 | y' = | 3 | 3 | 0.1 | 3 | 4 |
39 | y' = y2 ex | 1 | -1 | 0.1 | 1 | 2 |
40 | y' = e-y | 1 | 0 | 0.1 | 1 | 2 |
Содержание отчета
|
|
1. Индивидуальное задание.
2. Решение ОДУ аналитическим методом.
3. Значения полученного аналитического решения y(x) на отрезке [a;b] с шагом h
4. «Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера – функция ye(x) в первых 4-х точках заданного отрезка [a;b] с шагом h и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).
5. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Эйлера – функция y1(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h , используя математический пакет.
6. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 2 порядка – функция y2(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h , используя математический пакет.
7. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 4 порядка – функция y4(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h , используя математический пакет.
8. Вычисленные значения погрешностейчисленного решения дифференциального уравнения для каждого метода.
9. Графическая иллюстрация полученных решений.