Классическая теория электропроводности

 

Согласно классической теории (Друде, Лорентц) металлы можно рассматривать как кристаллический остов, состоящий из положительных ионов, погруженных в среду из свободных коллективизированных электронов, называемой "электронным газом". 24 Электронному газу приписываются свойства идеального газа, т. е. движение электронов подчиняется законам классической статистики (статистики Максвелла– Больцмана), согласно которой распределение электронов по энергетическим состояниям F(Э) описывается экспоненциальной функцией вида:

 

                                                          (1.1)

 

где Э – энергия;

k — постоянная Больцмана;

Т – температура;

А – константа.

 

Концентрация свободных электронов может быть рассчитана по формуле,

                                                     (1.1)

 

где ρ — плотность материала;

А — атомная масса;

N0 — число Авогадро.

 

Согласно атомно-кинетической теории идеальных газов средняя кинетическая энергия электронов линейно возрастает с температурой:

 

                                                     (1.1)

 

где uср — средняя скорость теплового движения;

   m0 – масса электрона.

 

Под действием приложенного напряжения электроны получают добавочную скорость движения в направлении поля, что приводит к возникновению электрического тока.

 Плотность тока в проводнике J равна:

 

 

где vср – средняя скорость направленного движения носителей заряда (скорость дрейфа);

  n – концентрация электронов.

 

На длине свободного пробега электроны под действием электрического поля Е движутся с ускорением а равном:

 

 

Максимальная скорость дрейфа, приобретаемая электроном к концу свободного пробега:

 

 

где τо — время свободного пробега.

 

Среднее значение скорости дрейфа на длине свободного пробега равно половине максимального, так как для большинства электронов скорость направленного движения после столкновения падает до нуля (вся энергия передается атомам решетки):

 

 

Поскольку vср «uср, то при расчете времени свободного пробега vср можно не учитывать:

 

 

 где l — средняя длина свободного пробега электронов.

 

Подстановка полученных соотношений в формулу для плотности тока приводит к следующему результату:

 

 

 где γ – удельная проводимость.

 

Плотность тока в формуле 2.9 пропорциональна напряженности электрического поля (закон Ома). Если при выводе формулы (2.9) рассмотреть действие электрического поля не на один электрон, а на всю совокупность свободных электронов, то средняя дрейфовая скорость электронов окажется вдвое больше и выражение для удельной проводимости принимает следующий вид:

 

 

Таким образом, классическая теория электропроводности объясняет основные законы протекания электрического тока в проводниках, в частности закон Ома, закон Джоуля–Лентца, закон Видемана–Франца. Однако она не может объяснить механизм электропроводности полупроводников и ряд явлений в проводниках (сверхпроводимость, закон Дюлонга и Пти, большая длина свободного пробега). Основные недостатки классической теории удалось преодолеть с помощью квантовой теории металлов (И. Френкель, А. Зоммерфельд).

 

 

 

 

1.2.2 Квантовая теория электропроводности.

 

Квантовая статистика основывается на принципе Паули, согласно которому в каждом энергетическом состоянии может находиться только один электрон. Следовательно, с классической точки зрения энергия всех электронов при температуре абсолютного нуля должна равняться нулю. А по принципу Паули даже при абсолютном нуле число электронов 27 на каждом уровне не может превышать двух. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами определяется функцией Ферми:

 

 

 где Э — энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется;

  ЭF – энергия эталонного уровня

 

Энергию ЭF называют уровнем Ферми. При Т = 0 К уровень Ферми – это уровень, энергия которого соответствует верхней границе электронного распределения. При температуре отличной от абсолютного нуля уровень Ферми – это уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2 и относительно которого кривая вероятности симметрична.

 График функции распределения электронов по уровням энергии при условии, что Т > 0 К представлен на рисунке 2. 1.

 

 

I — уровни, почти заполненные;

II — интервал размытия;

III — уровни, почти полностью свободные.

 

Рисунок 2.1 – Распределение электронов в частично заполненной зоне (а) и функция вероятности заполнения электронами уровней (б)

 

Из формулы (2.11) можно видеть, что при любой температуре для уровня с энергией Э = ЭF вероятность заполнений электронами равна 0,5. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 0,5 заполнены электронами. Наоборот, всё уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью более 0,5 свободны от электронов (рисунок 2. 1).

Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным состояниям. При температуре 0 К это приводит к следующему результату:

 

 

где m* n – эффективная масса электрона.

Эффективная масса – это масса электрона, учитывающая влияние периодического поля кристаллической решетки.

Электронный газ, состояние которого описывается статистикой Ферми−Дирака, называют врожденными. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля. В состоянии вырождения средняя энергия электронного газа практически не зависит от температуры. Электронный газ в металле остается вырожденным вплоть до температуры снятия вырождения, которая превышает не только температуру плавления, но и температуру испарения металлов.

Под действием поля вся совокупность свободных электронов с концентрацией n приобретает добавочную скорость направленного движения, равную vF. С учетом этого обстоятельства, выражения для плотности тока (2.4) и удельной проводимости (2.10) принимают вид:

 

 

 

 Из формулы (2.12) находим:

 

 

 Выражая  через концентрацию электронов и подставляя полученный результат в (2.14), получим выражение для удельной проводимости:

 

 

1.2.3 Удельное сопротивление проводников.

 

Величину, обратную удельной проводимости γ, называемую удельным сопротивлением ρ. Единицей удельного сопротивления в СИ является Ом·м.

Величину удельного сопротивления металлического проводника на основании электронной теории металлов можно определить следующим образом:

 

 

где m — масса электрона;

uср – средняя скорость теплового движения электрона внутри металлического проводника;

l – средняя длина свободного пробега электрона.

 

Выражения для удельного сопротивления на основе выводов квантовой волновой механики имеет вид:

 

 

 

где h — постоянная Планка;

К — числовой коэффициент.

 

Вещества с идеальной кристаллической решеткой характеризуются наименьшим удельным сопротивлением; примеси, искажая решетку, приводят к его увеличению. К этому выводу можно прийти как на основе классической, так и основе квантовой теории электропроводности.

 

Резисторы.