Интерполяция по Чебышевским узлам

ЛЕКЦИЯ №9

МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА

1. Определение и свойства

2. Интерполяция по Чебышевским узлам

3. Многочлены равномерных приближений

4. Экономизация степенных рядов

 

Многочленом Чебышева n-ой степени называется функция

T_n(x)=cos (narccos) n=0,1,2 …,xÎ[-1;1];                                              (9.1)

 

Докажем, что при любом n=0,1,2  

n=0: T₀(x)=cos0=1;

n=1: T₁(x)=cos(arccos x)=x;

n=2: T₂(x) =cos(2arccos x);

Обозначим α=arccosx

T_n(x)=cos2α;

T_n+1(x)=cos((n+1)α);

T_n-1(x)=cos((n-1)α);

cos((n+1)α)+ cos((n-1)α)-2cos(2nα/ α)cos(2α/ α)=2 cosnα cosα;

T_n+1(x)+ T_n-1(x)=2 T₁(x) T_n(x);

T_n+1(x)= 2xT_n(x)- T_n-1(x);                                                     (9.2)

Свойства многочлена Чебышева:

1. Все функции T_n(x) являются многочленами при n=0,1,2,…

2. Степени этих многочленов возрастают с увеличением n, причем старший член T_n(x)=2^n-1x_n

3. Многочлены T_n(x) при четных n выражаются через четные функции, при нечетных n-через нечетные функции.

 

Проверим:

T₂(x) =2х²-1

T₃(x) =2х (2х²-1) =4х³-2х

T₄(x) = 2х (4х³-3х)-2х²+1=2³х⁴-3х²+1

4. На отрезке [-1;1] многочлен T_n(x) имеет ровно n различных действительных корней, которые рассчитываются по формуле:

Докажем:

Так как arccosxÎ[0; Π];k=0,1,…n-1,чтобы туда попадал arcos

 

 

 

5. Корни многочлена Чебышева перемножаются, чередуются с точками их экстремума, причем максимум

 

T_n(x) на [-1;1] равен 1,т.е

 

Для точек экстремума существует связь:

Введем нормированный многочлена Чебышева (старший коэффициент =1, перед х в максимальной степени)

                                          (9.3)

 

Теорема Чебышева

 

Из всех многочленов степени n со старшим коэффициентом = 1, нормированный многочлен Чебышева отклоняется от нуля на отрезке [-1;1], т.е не существует многочлена Р_n *(x), что:  

max | Р_n*(x)| < max | T^_n(x)|

[-1;1]                 [-1;1]                                     Доказательство не нужно.

 

Интерполяция по Чебышевским узлам

 

Задача: Пусть есть некоторая функция f(x), определенная на отрезке [a;b]. Как расположить на отрезке [a;b] n+1 узел интерполяции таким образом, чтобы минимизировать максимальное отклонение интерполяционного полинома Лагранжа от f(x), т.е ошибку аппроксимации.

Остаточный член полинома Лагранжа

Необходимо минимизировать этот максимум, т.е необходимо найти такие узлы x_k,  которые минимизировали бы

Сведем [a;b] к отрезку [-1;1]

Должна существовать связь хÎ[a;b] с t Î[-1;1]

                                  

 

 

Связь: x= Ct+D

C-коэффициент сжатия (растяжения, D-параллельный перенос)

Если t=1

Если t=-1

Тогда:

 (9.4)

Для того чтобы минимизировать (9.4), необходимо найти такие корни

 t_kÎ[-1;1], , при котором Π_n+1(t) будет минимальным.

По теореме Чебышева полином Т_n+1нормирован многочленом Чебышева, наименее отклонен от нуля на [-1;1], поэтому в качестве искомых корней необходимо взять корни многочлена Чебышева на [-1;1]

(рассмотрим полином n+1-ой степени)

                 (9.5)

Узлы интерполяции, определим по формуле (9.5) обеспечивают min, max ошибку аппроксимации при помощи интерполяционных полиномов.