2020-01-14
119
ВШЭ-ГУ
2011
Борис Григорьевич Миркин
Профессор, Кафедра анализа данных и искусственного интеллекта ОПМИ НИУ ВШЭ, Москва, РФ
Emeritus Professor, Department of Computer Science and Information Systems, Birkbeck University of London, UK
История и методология прикладной математики и информатики
Содержание:
Введение: чистая и прикладная математика; информатика....... 2
Наследие античности: вклады Пифагора, Аристотеля и Архимеда.... 5
Развитие идей небесной механики...................... 14
4. Развитие идей оптимизации.......................... 19
Развитие идей вероятности и статистики........ ........... 21
Развитие идей анализа данных........................ 25
Развитие идей дискретной математики и графов.............. 28
Развитие вычислительной техники и программирования ........ 32
Развитие баз данных и знаний......................... 36
Работы по машинному интеллекту.................... . 43
11. Перспективы дальнейшего развития........... ......... 45
Курс отражает мои наблюдения и размышления за годы моей относительно успешной (5 монографий за период 1974-85) и в то же время не совсем удачной (4 докторские диссертации в 1974-1988) научной карьеры в СССР, а также научной работы за границей: Франция (1991-1993), США (1993-1998), Германия (1996-1999) и Великобритания (2000-2011).
Математика, чистая и прикладная математика и информатика
Математика – это то, чем занимаются математики. За 2500 лет своего существования понятие о математике видоизменялось и обогащалось. Первоначально – это была абсолютно прикладная дисциплина, связанная с вычислениями (типа астрономических событий или разливами Нила) – в древнем Египте, и землемерием – в древнем Вавилоне, прежде всего с вычислением (они даже изобрели позиционную систему счисления и решали квадратные уравнения); в Египте – прежде всего с землемерием (по закону каждой семье выделялся одинаковый надел, и для поддержания справедливости надо было уметь перераспределять землю при нарушениях баланса, связанных с природными или семейными катаклизмами). Любопытно, что эти знания никак не обменивались, и идеи позиционного счисления вошли в Европейскую науку спустя многие сотни лет через арабскую математику.
Греки внесли в математику идею логического доказательства. Евклид описал планиметрию с помощью аксиоматического метода (аксиомы – логика – теоремы), который в настоящее время понимается многими как главная особенность математики в системе наук. Они же установили, что одни и те же соотношения могут описывать совершенно разные явления (созвучия как пропорции). Такие задачи как решение уравнений, вычисление объемов и описание движения вызвали к жизни появление развитых математических конструкций – вещественные и комплексные числа, функции и дифференциальное исчисление, теория оптимизации, дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения и пр. Это дало основание рассматривать математику как науку об описание количественных и пространственных форм окружающего нас мира.
Из русской Википедии
(i)Матема́тика — наука, изучающая количественные и пространственные соотношения, в действительном мире и человеческом воображении. Существуют совершенно иные и весьма разнообразные трактовки предмета математики и её метода.
(ii) Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. Математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствия чему-либо в физическом мире. Однако некоторые из исследуемых математикой объектов могут иметь прообразы в реальном мире, более или менее похожие на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — цель, к которой стремится математика. Наряду с моделированием математика прибегает к обобщениям, например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений.
Изучение объектов в математике происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают теоремы. Поэтому иногда считают, что (iii) математика — это наука о следствиях из непротиворечивых наборов аксиом
Многие нематематики рассматривают математику как некий универсальный язык, на котором удобно формулировать предположения или факты о свойствах различных явлений, после чего она, как мельница, переработает их в всевозможные следствия. Эти результаты возвращаются в знание о явлении путем их интерпретации. Мне близка эта точка зрения. Я бы сказал, что (iv) математика - это дисциплина, занимающейся разработкой языков для описания структурных и количественных сторон различных явлений и способов перевода между ними.
Язы́к — система звуков, знаков, предназначенная для фиксации, переработки и передачи сведений от одного субъекта к другому.
Следует подчеркнуть, что «фиксация» в этом определении - это очень нетривиальный этап, связанный с выделением и пониманием существенных свойств явления.
Функции языка (релевантные выделены крупным шрифтом)
· коммуникативная (или функция общения) — основная функция языка, использование языка для передачи информации;
· когнитивная (или познавательная функция) — формирование мышления индивида и общества;
· информативная (или аккумулятивная функция) — передача информации и её хранение;
· эмотивная (или эмоциональная функция) — выражение чувств, эмоций;
· волюнтативная (или призывно-побудительная функция) — функция воздействия;
· метаязыковая — разъяснения самого языка средствами языка;
· фатическая (или контактноустанавливающая);
· идеологическая функция — использование того или иного языка или типа письменности для выражения идеологических предпочтений. Например, ирландский язык используется главным образом не для общения, а в качестве символа ирландской государственности. Использование традиционных систем письма часто воспринимается как культурная преемственность, а переход на латиницу — как модернизаторство.
· омадативная (или формирующая реальности) - создание реальностей и их контроль
Рассмотрим, как пример, теорию алгебраических квадратичных уравнений, создававшуюся более тысячелетия (от Пифагора, который обнаружил наличие нерациональных корней до Гаусса, который доказал основную теорему математики).
Две, по моему мнению, основные задачи этой теории –
(а) вычисление корней (известная формула x= = -p/2±sqrt(p2/4-q))
(б) установление связи между двумя языками их описания, внешним – коэффициентов, и внутренним – свойствами корней. Точнее, речь идет об утверждениях, связывающих свойства параметров описания уравнений (p,q) со свойствами корней, вещей ненаблюдаемых. Пример такого утверждения: для того, чтобы оба корня были вещественными необходимо и достаточно, чтобы p2/4-q>0. (Какой красивый и нетривиальный признак, p2/4-q, сформирован из исходных двух признаков - коэффициентов p и q!)
Мне могут возразить, что данная характеристика очевидно вытекает из вышеприведенной формулы – и я скажу, конечно, в данном случае это так. Но имеется значительно больше случаев более сложных уравнений – а всякая инженерная задача в той или иной мере сводится к решению уравнения – когда никакого аналитического решения указать нельзя;
тогда то утверждения о свойствах корней уравнений становятся главным инструментом анализа.
Почему я считаю, что языковый аспект, т.е. прежде всего, так называемые необходимые и/или достаточные условия, так важен? Математика разрастается, как финансовые инструменты. Три основных раздела математики – геометрия, алгебра и анализ – разрастаются, абстрагируются, взаимно проникают друг в друга. Вспомните, какие современные средства алгебры и геометрии понадобились для недавнего решения такой очень просто формулируемой проблемы как так называемая большая теорема Ферма («Ни для каких натуральных чисел а, б и в и ни для какого р>2, невозможно равенство аp+ бp = вp.»)
Чем больше взаимопроникновение, тем больше понимание, тем больший круг явлений реального мира охватывается, а математизация новых явлений приводит к жизни новые конструкции, свойства которых надо изучать – для того, чтобы иметь возможность решать новые задачи. Считается, что изучение свойств уже определенных математических объектов может потребовать не одной сотни лет.
Вычислительная тематика все более передается прикладной математике и информатике, а языковая, связь между абстрактными математическими конструкциями, как гомотопии и соответствующие алгебры, все более углубляется и расширяется. В связи с этим, кстати, меняется понятие «нетривиальности» или «силы» математического результата. Раньше степень нетривиальности ассоциировалась со сложностью, т.е. длиной, доказательства, теперь, по-моему, с «расстоянием» между языками, между которыми устанавливается соответствие.
Чистая математика работает на математику, изучая свойства математических объектов. Прикладная математика ориентирована на приложения вне математики, в других областях науки, технике, экономике и пр. Информатика – реализация математических построений на компьютере; включает существенную инженерную компоненту типа разработки хардвера, поддержки безопасности, формирования протоколов электронных сообщений и пр.
Не существует границы между прикладной и чистой математикой по предмету – граница проходит по области применения: внутри математики (чистая) или в другой области науки или практики (прикладная).
Пример, поясняющий эту мысль:
Малая теорема Ферма (1601-1665, Тулуза). Рассмотрим два взаимно простых натуральных числа (без общих нетривиальных делителей) a и n. Обозначим j(n) количество натуральных чисел от 1 до n, являющихся взаимно простыми с n. Например, если n – простое, т.е. делится без остатка только на себя и на 1, то j(n)=n-1. Теорема утверждает, что число aj(n) - 1 делится на n без остатка.
Будучи студентом, я считал эту теорему образцом чистой математики: никаких шансов на приложения. «Никому не нужные свойства никому не нужных простых чисел.» Сейчас эта теорема лежит в основе всей электронной торговли, обеспечивая безопасность кодировки транзакций при покупках через интернет. 
