Полиномиальной системой мы будем называть автономную систему ОДУ
, (25)
где - алгебраические полиномы по .
Какие системы ОДУ можно свести к полиномиальным и как это делается? Начнем с примера. Рассмотрим задачу Коши:
(26)
(27)
Вводя дополнительные переменные
(28)
получаем следующую квадратичную задачу Коши:
(29)
(30)
Теперь рассмотрим достаточно общий случай. Рассмотрим класс сис-тем ОДУ (23), правые части которых можно представить в виде:
(31)
где все функции , а также все функции
(32)
являются алгебраическими полиномами по .
Любая система из сводится к полиномиальной. Действительно, если в (23),(24) ввести дополнительные переменные то:
(33)
(34)
где все правые части
(35)
- алгебраические полиномы по с постоянными коэффициентами.
Уравнения кинетики, как правило, либо имеют вид (25), либо могут быть сведены к такой системе введением дополнительных переменных. Поэтому важно знать какие функции удовлетворяют полиномиальным системам, или, иначе говоря, насколько богаты содержанием модели, основанные на полиномиальных системах ОДУ.
|
|
Обсудим этот вопрос. Будем говорить, что скалярная функция скалярного аргумента удовлетворяет полиномиальной системе, если она является одной из компонент решения такой системы. Класс скалярных функций, удовлетворяющих полиномиальной системе назовем . За исключением некоторых теоретико-числовых функций (гамма-функция Эйлера, дзета-функция Римана и т.п.) остальные функции из известных математических справочников принадлежат классу .
Этот класс замкнут относительно операций (сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование, супер-позиция). Это означает, что если функции принадлежат , то и любая их композиция, полученная при помощи конечного числа операций , также принадлежит .
1.4.2 Метод рядов Тейлора
Введем в рассмотрение оператор , сопоставляющий решению задачи Коши (23), (24) его полином Тейлора
, (36)
порядка . Радиус сходимости ряда обозначим .
Метод рядов Тейлора решения задачи Коши (23), (24) заключается в построении таблицы приближенных значений по формулам:
,
, , (37)
где - натуральные, , , , а удовлетворяют неравенствам .
Для программной реализации метода рядов Тейлора необходимы алгоритмы нахождения коэффициентов Тейлора и автоматического выбора величины шага интегрирования.
Нахождение коэффициентов Тейлора