Вычисление старшего показателя системы

 

Рассмотрим систему

 

 (1)

 

Решим ее.

 

,

,

 

получили уравнение с разделяющимися переменными.

 

,

,

,

 .

 

Общее решение системы (1) имеет вид:

 

Возьмем 1)

 

2)

 

тогда получим два решения системы:

 

.

 

Составим матрицу решений системы (1).

 

.

 

Проверим ее на фундаментальность:

 

.

 

Следовательно [1,с.70], матрица  фундаментальна.

Перейдем к вычислению показателей решений .

По определению [1,с.20] вычислим норму:

 

 ;               

.

 

По определению 1.2 вычислим характеристические показатели, используя лемму 1.1:

 , .

,

 

так как функции  и  ограниченные.

 

.

 

Проверим на несжимаемость систему вектор-функций , используя определение 1.3.

Составим линейную комбинацию

 

, где ,

и рассмотрим три случая: 1)

                                  2)

                                  3)

В первом случае

 

.

 

Во втором случае

 

.

В третьем случае

 

.

 

Найдем нормы :

 

 ;

;

 

.

 

Итак,

 

,

.

 

В силу определения 1.2:

 

.

Так как  ─ ограниченная величина, то

 

 

А значит, .

 

;

;

 

По определению 1.3 следует, что характеристический показатель линейной комбинации  совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть

 

 

А это означает, что система (1) обладает свойством несжимаемости. Тогда по теореме 1.1 наша фундаментальная система нормальная. По следствию 1.1 вытекает, что  реализует весь спектр линейной системы. Значит, спектр системы состоит из одного числа: .

По определению 1.5 старший показатель системы (1) равен нулю, то есть

.