Логические операции над высказываниями

Для написания этого раздела использовалась литература /2, 5, 7,8/.

Роль союзов в русском языке, с помощью которых из простых предложений формируются сложные, в логике высказываний играют логические связки, называемые также логическими операциями. Рассмотрим основные из них в применении к высказываниям.

1) Отрицание

Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания, соответствующая в русском языке частице "не".

Эту операцию обозначают символом "  " (или " ")

Определение: Если А - некоторое высказывание, то  (читается "не А" или "неверно, что А") - новое, сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Пример: А – “идет дождь”,  - “не идет дождь”.

Действие этой операции можно представить в виде следующей символической таблицы, которую будем называть таблицей истинности данной логической операции (или связки):

Именно эту таблицу (ее надо читать по строкам: "если А=1, то =0", т.е. одновременно А истинно и  ложно) мы и приняли в качестве определения операции отрицания. Подобными таблицами истинности мы будем пользоваться и при определении других логических операций.

2) Конъюнкция

Следующая логическая операция – конъюнкция (логическое умножение), соответствующая союзу "и" русского языка.

Обозначается конъюнкция символом " " (" " или "&"), который ставится между высказываниями.

Определение: Если А и В - высказывания, то А В - сложное высказывание (читается "А и В"), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания А и В. Высказывания А и В при этом называются конъюнктивными членами или членами данной конъюнкции.

Пример. А - ''лиса - хищное животное", В - "медведь меньше лисы", С – «Лондон - столица Англии»; А В – «лиса - хищное животное, и медведь меньше лисы» - ложное высказывание; А С – «лиса - хищное животное, и Лондон - столица Англии» - истинное высказывание.

Таблица истинности для операции конъюнкции выглядит следующим образом:

А	В	А В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

 

В этой таблице каждая строка показывает, истинна или ложна конъюнкция при данном наборе истинных или ложных конъюнктивных членов.

3) Дизъюнкция

Аналог в русском языке для следующей логической операции - союз «или». Но в русском языке этот союз имеет несколько довольно далеких друг от друга значений.

Примеры: "Здесь близко река или озеро" - союз "или" в соединительном (неисключающем) смысле; "Или он останется, или я" - "или" в разделительном (исключающем) смысле; "Самолет, или аэроплан, есть летательный аппарат тяжелее воздуха" - "или" в пояснительном смысле и т.д.

В математике, как правило, используется неисключающее "или", что приводит к логической операции дизъюнкции (логическое сложение), обозначаемой символом " ".

Определение: Если А и В - высказывания, то А В - сложное высказывание (читается "А или В"), которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В. Высказывания А и В называют при этом дизъюнктивными членами.

Пример: А - "3<6", В - "5>1", А В - "3<6 или 5>1" - истинное высказывание.

Таблица истинности для операции дизъюнкции выглядит следующим образом:

А	В	А В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 

4) Импликация

 

Из всех логических операций наиболее сложной для восприятия является, пожалуй, импликация. Ее ближайший аналог в русском языке - оборот "если..., то...". Обозначать эту операцию будем так: "А В".

Одна из проблем, связанных с восприятием импликации - использование этого оборота в нескольких разных значениях.

Пример: а) "Если меня не обманывает зрение, то это Иван Иванович"; "Если треугольник - прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора" - условное значение оборота " если..., то...";

б) "Если на севере промышляли больше охотой, то на юге основу хозяйства составляло земледелие" - противопоставительное значение;

в) "Если сэр Вальтер Скотт не написал ни одного романа, то не было гражданской войны в США" - контрфактическое условное значение и т.д.

Мы будем ориентироваться только на первое значение этого оборота - условное.

Но и в этом случае полной аналогии нет, поскольку в русском языке оборот "если..., то..." подразумевает наличие причинной связи.

В математической же логике речь может идти только об истинности или ложности всего сложного высказывания в целом. Поэтому единственным "логичным" требованием к высказыванию "если А, то В" является недопустимость ситуации, когда А истинно, а В ложно.

В результате истинными могут оказаться сложные высказывания "Если в доме пять этажей, то в квартире номер три проживает Иванов" или "Если 1+1 2, то Рим есть столица Франции", а то и еще более "удивительные" высказывания.

Перейдем к точному определению и его обсуждению.

Определение: Если А и В - высказывания, то А В (читается "если А, то В", "из А следует В", "А влечет В", "А имплицирует В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример: Пусть Р означает "2 2=4", Q - " снег бел", -"2 2=5", - "снег черен". Тогда высказывания P Q, и истинны, a - ложно.

 

Таблица истинности для операции импликации такова:

А	В	А В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 

Замечания:

1)Иногда вместо " " используют знак " ".

2)Два главных момента в свойствах импликации: истина не может имплицировать ложь, но из лжи следует что угодно. Такое уточнение истинностного смысла связки "если А, то В" не противоречит обычной практике, скорее даже ее расширяет.

5) Эквивалентность

Еще одна логическая операция - эквивалентность (или эквиваленция) - соответствует оборотам русского языка типа "тогда и только тогда, когда...", "для того, чтобы..., необходимо и достаточно..." и др. и обозначается знаками " ", "~".

К эквивалентности в той же мере, что и к импликации, относится замечание о том, что ее использование в логике высказываний не учитывает смысловое содержание высказываний. И здесь наши интуитивные представления об эквивалентности относятся лишь к случаю, когда высказывание А В является абсолютно истинным (т.е. истинным во всех возможных ситуациях). В логике же эквивалентность принимается истинной, когда А и В получают одинаковые истинностные значения.

Определение: Если А и В - высказывания, то А В (читается: "А эквивалентно В") есть сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда одновременно А и В истинны либо оба ложны.

Приведем таблицу истинности для эквивалентности:

 

А	В	А В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Пример: Пусть А – "Хлеба уцелеют", В - "вырыты оросительные канавы" Тогда высказывание  или "Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты оросительные канавы".

6) Штрих Шеффера

Следующая логическая операция называется штрих Шеффера и обозначается символом». «Аналогом в русском языке служит оборот «не …или не …»

Определение: Если А и В - высказывания, то А (читается: "А штрих Шеффера В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А и В истинны одновременно.

 

Таблица истинности для этой операции

А	В	А
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

 

Пример: Пусть А – "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны", В - " Противоположные стороны трапеции не параллельны" Тогда высказывание  или "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны или не параллельны" - истинное.

7) Стрелка Пирса

В качестве последнего примера логической операции рассмотрим связку, называемую стрелка Пирса, аналогом в русском языке служит оборот «не …и не …». Обозначается эта операция символом " ".

Определение: Если А и В - высказывания, то А В (читается: "А стрелка Пирса В") - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В ложны одновременно.

 

Таблица истинности для этой операции:

А	В
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Пример: Пусть А – "Петр не едет на Урал", В - "Николай не едет в Сибирь" Тогда высказывание  или " Петр не едет на Урал и Николай не едет в Сибирь " - истинное.