Источник плоской волны колеблющаяся плоскость.
Пусть плоская гармоническая волна распространяется вдоль произвольного направления, образующего с осями координат углы (проведем через точку О плоскую волновую поверхность).
Колебания в плоскости, проходящей через начало координат, имеют вид:
, (6.2)
где – амплитуда волны; w – циклическая частота волны; – начальная фаза волны.
Направление волны задается волновым вектором
,
где (6.3)
волновое число; скорость перемещения волновой поверхности (фазовая скорость).
Колебания частиц среды относительно волновой поверхности, отстоящей от начала координат на расстояние параллельно плоскости источника будут отставать от колебаний (6.2) на время ,
. (6.4)
Скалярное произведение на радиус-вектор любой из точек волновой поверхности равно , т.е.
|
|
.
Тогда
учтя, что , получим
(6.5)
(6.5) – уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении .
Скалярное произведение можно представить через координаты
.
Тогда
,
где , , .
Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси
,
.
Минимальное расстояние между волновыми поверхностями, колебания точек на которых происходят в одинаковой фазе (синфазно), называется длиной волны
. (6.6)
где период колебаний; частота колебаний.
Волна, возбуждаемая в однородной, изотропной среде точечным источником, будет сферической.
Амплитуда колебаний сферической волны, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной, а убывает с расстоянием от источника по закону .
Уравнение сферической незатухающей волны имеет вид
, (6.7)
где – расстояние от источника до рассматриваемой точки.
Затухающие волны.
При распространении механической волны в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается и наблюдается затухание волны.
Амплитуда затухающей волны:
(6.8)
где коэффициент затухания среды; расстояние от источника.
Тогда
(6.9)
(6.9) – уравнение плоской затухающей волны.
|
|
Сферическая волна также будет затухать с расстоянием от источника по экспоненциальному закону:
(6.10)
(6.10) – уравнение сферической затухающей волны.
Волновое уравнение.
Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция . Для этого продифференцируем дважды по , с учетом того, что .
Мы получим дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных (волновое уравнение)
, (6.11)
где - оператор Лапласа
Уравнение (6.11) можно записать в виде:
Решением волнового уравнения (6.11) являются функции (6.5) и (6.7).
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид
.
6.4. Стоячие волны.
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это утверждение выражает принцип суперпозиции (наложения) волн.
Особым случаем суперпозиции волн являются стоячие волны – волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.
На практике стоячая волна возникает в результате наложения бегущей и ее отраженной от некоторой преграды волн.
Запишем уравнения двух плоских незатухающих волн, распространяющихся вдоль оси навстречу друг другу:
Пусть , тогда
,
. (6.12)
Сложив эти уравнения, получим
.
Учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:
(6.13)
В стоячей волне каждая частица среды колеблется относительно положения равновесия с амплитудой
, (6.14)
называемой амплитудой стоячей волны.
, когда
В точках, где , , частицы среды колеблются с максимальными амплитудами, т.е. , образуя пучности стоячей волны.
Координаты пучностей:
. (6.15)
А в точках среды, где , , ее частицы покоятся, т.е. . Эти точки называются узлами стоячей волны.
Координаты узлов:
. (6.16)
Узел, как и пучность, представляют собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют координаты , определяемые формулами (6.15) и (6.16).
Расстояние между соседними пучностями, так же, как и расстояние между соседними узлами, равно .
Стоячие волны не переносят энергию.