Уравнение комплексной передаточной функции может быть получено из уравнения операторной передаточной функции при замене операторной переменной на мнимую частоту :
= .
В свою очередь, после выделения действительных , и мнимых , составляющих числителя и знаменателя дробного выражения комплексной передаточной функции
= = ,
легко находятся уравнения АЧХ и ФЧХ цепи:
= = ;
= = - ;
= при ;
= при , ;
= при , ;
= при ;
= при , ;
= при , .
Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим из дробно-рационального выражения его операторной функции передачи:
=
Положив = , получим выражение для комплексной передаточной функции:
= = =
=
Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХ фильтра:
= = =
Для нахождения уравнения ФЧХ нужно найти аргумент функции :
= = = - .
Оставаясь действительным, полином числителя
=
при любой частоте не меняет свой знак. Поэтому =0 при любой ( ≥0).
|
|
У полинома знаменателя
=
действительная часть
=
при частоте ω>313538 рад\с меняет знак. В зависимости от знака действительной части аргумент комплексной функции будет определяться по разным формулам:
=
при 0≤ <313538 рад/с ( >0);
=
при ≥313538 рад/с ( <0).
=
при =313538 рад/с
Таким образом, уравнение ФЧХ будет выглядеть следующим образом
=-
при 0≤ <313538рад/с
=
при >313538рад/с
=
при =313538 рад/с
По полученным уравнениям (задавая с определенным шагом значения и вычисляя соответствующие значения =2π ) можно построить графики АЧХ и ФЧХ фильтра, а также диаграмму АФХ. Для построения амплитудно–фазовой характеристики (АФХ или частотного годографа) целесообразно воспользоваться не показательной формой комплексного параметра KU(jf)=K(ω)ехр(jφ(f)),а алгебраической КU(jf)=A(f)+jB(f)=K(f)cosφ(f) + j K(f)sinφ(f).
По графику определим частоту среза полосу пропускания , крутизну спада амплитудно-частотной характеристики :
Дб/дек Дб/дек
н=39300 Гц
н=63300Гц
→63300-39300=24000Гц
Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно определить по полюсно-нулевой карте операторной функции.
В качестве нижней граничной частоты fн можно принять значение, близкое к величине
где Smin – расстояние от начала координат до ближайшей особой точки (нуля или полюса)
Это расстояние определяется как модуль особой точки: S =p0или S=p*.
|
|
За верхнюю граничную частоту fв можно взять значение
где Smax – расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки. Рассчитаем граничные частоты для нашего примера.
p0=0 рад/c,
Следовательно, Smin=p0, Smax=p*,