В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице.
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | X10 |
6,9 | 7,3 | 7,1 | 9,5 | 9,7 | 7,9 | 7,6 | 9,1 | 6,6 | 9,9 |
Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95.
Решение:
Поскольку в задаче имеется выборка малого объема, применим распределение Стьюдента.
Фактически требуется построить доверительный интервал для оценки математического ожидания а при неизвестном значении среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной совокупности.
Требуется отыскать такое число , для которого верно равенство
В этой формуле:
- выборочное среднее
S - стандартное (среднеквадратическое) отклонение
a - математическое ожидание
n - объем выборки (нашем случае 10)
- величина, в сумме с доверительной вероятностью дающая 1
(в нашем случае 0,05)
Величину (в нашем случае ) находим по таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,262.
Находим выборочное среднее как среднее арифметическое
Рассчитаем среднеквадратическое отклонение через исправленную выборочную дисперсию:
Тогда
Получаем:
Ответ: истинное значение случайной величины лежит в доверительном интервале (7,257; 9,063) с доверительной вероятностью 0,95.
Ниже представлен расчет данной задачи в системе Maple7.
6. (308) Отдел технического контроля проверил п = 500 партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных деталей в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице.
хi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
ni | 194 | 186 | 88 | 26 | 5 | 1 |
x – число нестандартных изделий в одной партии, n – количество партий, содержащих х нестандартных изделий.
Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.
Решение:
Находим выборочную среднюю
В качестве оценки параметра l распределения Пуассона выберем полученное значение выборочного среднего .
Расчет теоретических частот ведем по формуле
Ниже представлена расчетная таблица значений.
Прим. таблица Microsoft Excel. Параметры рассчитаны автоматически.
Малочисленные частоты можно объединить. Также объединяются и соответствующие им теоретические частоты.
Получили:
Число степеней свободы k = s – r – 1, т.к. проверяется гипотеза о распределении Пуассона (т.е. проверяется один параметр), то r = 1, k = s – 2 = 3 (s = 5, т.к. после исключения малочисленных частот в таблице осталось 5 строк)
По таблице получаем:
Ответ: поскольку , гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона может быть принята.