Невозможность существования «впадин» на эффективном множестве

Предыдущий пример показал, что происходит при формировании портфеля из акций двух компаний (Ark Shipping и Gold Jewelry). Важно отметить, что при формировании портфеля из двух других портфелей действуют те же принципы. Таким образом, точка А на рис. 1.6 может представлять собой портфель с ожидаемой доходностью 5% и стандарт­ным отклонением 20%, а точка С может представлять другой портфель ценных бумаг с ожидаемой доходностью 15% и стандартным отклонением 40%. Комбинируя эти два портфеля, можно создать третий, ожидаемая доходность и стандартное отклонение которого будут зависеть от долей, инвестированных в А и G. Если предположить, что корреляция между двумя портфелями равна нулю, то третий портфель будет распола­гаться на указанной изогнутой линии, соединяющей А и G.

Теперь, исходя из данных фактов, можно показать, что эффективное множество вогнуто. Покажем, что оно не может иметь никакую другую форму. Рассмотрим эффек­тивное множество, изображенное на рис. 7. Заметим, что на нем есть «впадина» меж­ду точками U и V, т.е. участок эффективного множества между U и V является вогну­тым. Может ли данное множество на самом деле быть эффективным? Нет, так как инвестор может вложить часть своих фондов в портфель, которому соответствует точка U, а оставшуюся часть фондов в портфель, которому соответствует точка V. В результате мы получим портфель, представляющий собой комбинацию портфелей U и V, который должен располагаться на рисунке левее рассматриваемого эффективного множества. Таким образом, новый портфель будет «более эффективным», чем порт­фель с такой же ожидаемой доходностью, расположенной на рассматриваемом эффективном множестве между точками U и V.

рис. 7. «Впадина» на эффективном множестве

рис. 8. Удаление «впадины» на эффективном множестве

Для примера проанализируем портфель из рассматриваемого эффективного мно­жества, лежащий на середине линии между точками U и V; на рис. 8 данная точка отмечена буквой W. Если это действительно эффективный портфель, то создать порт­фель с такой же ожидаемой доходностью, как у W, но с меньшим стандартным откло­нением невозможно. Однако если инвестор вложит половину своих фондов в U, а вто­рую половину в V, то он создаст портфель, более эффективный, чем портфель W, так как он будет иметь такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклоне­ние. Почему он будет иметь меньшее стандартное отклонение? Вспомним, что если корреляция между U u V равняется 1, то портфель должен лежать на прямой линии, соединяющей U u V, и, таким образом, будет иметь меньшее стандартное отклонение, чем W. На рис. 8 данная точка обозначена, как Z. Так как фактически корреляция меньше или равна +1, то W будет иметь такое же или меньшее стандартное отклоне­ние, как и Z. Это означает, что рассматриваемое эффективное множество ошибочно по построению, так как легко найти «более эффективный» портфель в области, где оно не является вогнутым.

Рыночная модель

Предположим, что доходность обыкновенной акции за данный период времени (на­пример месяц) связана с доходностью за данный период акции на рыночный индекс, такой, например, как широко известный S&P500⁵. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, веро­ятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model):

где -доходность ценой бумаги i за данный период;

- доходность на рыночный индекс I за этот же период;

 - коэффициент смещения;

- коэффициент наклона;

- случайная погрешность

Предположив, что коэффициент наклона положителен, из уравнения можно заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет до­ходность ценной бумаги (заметим, что среднее значение случайной погрешности рав­няется нулю).