Задача 2. Планируется деятельность двух предприятий (s =2) в течение n лет. Начальные средства составляют . Средства x, вложенные в предприятие I, приносят к концу года доход и возвращаются в размере ; аналогично, средства x, вложенные в предприятие II, дают доход и возвращаются в размере . По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями I и II, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.
Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.
Будем рассматривать процесс распределения средств как n -шаговый, в котором номер шага соответствует номеру года. Управляемая система — два предприятия с вложенными в них средствами. Система характеризуется одним параметром состояния — количеством средств, которые следует перераспределить в начале k -го года. Переменных управления на каждом шаге две: и — количество средств, выделенных соответственно предприятию I и II. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то . Для каждого шага задача становится одномерной. Обозначим через , тогда .
|
|
Показатель эффективности k -го шага равен . Это—доход, полученный от двух предприятий в течение k -го года.
Показатель эффективности задачи—доход, полученный от двух предприятий в течение n лет—составляет
. (2.5)
Уравнение состояния выражает остаток средств после k -го шага и имеет вид
. (2.6)
Пусть — условный оптимальный доход, полученный от распределения средств между двумя предприятиями за п—k +1 лет, начиная с k -го года до конца рассматриваемого периода. Запишем рекуррентные соотношения для этих функций:
; (2.7)
,
где - определяется из уравнения состояния (2.6).
Задача 3. Решить задачу 2 при следующих условиях: ; ; ; ; ; .
Если и - средства, выделенные соответственно предприятиям I и II в k -м году, то суммарный доход, полученный от обоих предприятий, равен
,
а уравнение состояния (2.6) принимает вид
.
Основные функциональные уравнения (2.7) запишутся следующим образом:
;
.
Проведем этап условной оптимизации.
4-й шаг. Условный оптимальный доход равен
,
так как линейная относительно функция достигает максимума в конце интервала, т.е. при .
3-й шаг:
.
Коэффициент при отрицателен, поэтому максимум в этой линейной относительно функции достигается в начале интервала, т.е.
; .
2-й шаг:
, откуда ; .
1-й шаг:
при .
Результат условной оптимизации:
; ; ; ;
; ; ;
Перейдем к безусловной оптимизации. Полагаем ; тогда , . Зная , находим ; используя , получаем и . Аналогично , . Наконец, . Следовательно, средства по годам нужно распределить так:
|
|
Год | ||||
Предприятие | 1 | 2 | 3 | 4 |
I | 0 | 0 | 0 | 5120 |
II | 10000 | 8000 | 6400 | 0 |
При таком распределении средств (10000 руб.) за четыре года будет получен доход, равный .
Непрерывные модели, примером которых служит задача 3, не являются типичными в практике распределения ресурсов. В дальнейшем большинство задач будет носить дискретный характер.