Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций
называемый центральным, что
для любого .
Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры в центральном ряде , то есть если для нее , то алгебра называется, абелевой.
Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева.
Доказательство:
Пусть подалгебра абелевой алгебры .
Так как по определению , то на существует такая конгруэнция , что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Рассмотрим конгруэнцию
Действительно, если
для , то
и для любой -арной опеации имеем
Но поскольку подалгебра алгебры , получаем
Значит, подалгебра алгебры .
Очевидно, что для любого элемента имеет место
Таким образом, конгруэнция ня алгебре .
Пусть
тогда
|
|
то Если , то
и, значит,
т.е.
Пусть, наконец,
Тогда
и значит .
Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.
Доказательство:
Пусть алгебра – абелева, то есть . Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется
Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1.
Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы , , , , что
и
Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре .
Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть
тогда
Пусть
Тогда , и по определению 2.1
При этом и . Согласно нашим обозначениям получаем, что
Пусть
Тогда найдутся , что
и
При этом
Следовательно,
Но тогда по определению 3.1. . А так как , то
Теперь из того, что
следует, что
Лемма доказана.
Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево.
Доказательство:
Очевидно, достаточно показать, что если , и – абелевы алгебры, то – абелева алгебра.
Пусть и . Это означает, что на алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1.
Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре .
|
|
Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.
Пусть
тогда
Пусть . Это означает, что и . Но тогда
и
Следовательно,
Пусть
тогда
и
Это означает, что и . Таким образом
Лемма доказана.
Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.
Пусть – конгруэнция на алгебре . – подалгебра алгебры , и . Тогда введем новое обозначение
Лемма 4.4. Пусть определено множество . Тогда – конгруэнция на ,
Доказательство:
Так как , то для любого элемента всегда найдется такой элемент , что . Следовательно,
где .
Таким образом .
Пусть теперь , . Тогда
где . Следовательно, для любой -арной операции получаем
Теперь, поскольку , то по лемме 3.2 – конгруэнция на .
Пусть . Тогда, очевидно,
т.е. . Так как
то
Покажем теперь, что . Допустим противное. Тогда найдется такая пара , что и . Из определения следует, что существует такая пара , что
Так как
то применяя мальцевский оператор получаем
Из леммы 2.2. теперь следует, что .
Итак, . Лемма доказана.
Подалгебра алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .
Лемма 4.5. Любая подалгебра абелевой алгебры является нормальной.
Доказательство:
Пусть – подалгебра абелевой алгебры . Так как , то по лемме 4.4. на существует такая конгруэнция , что
Лемма доказана.
Заключение
Таким образом, в данной работе мы подробно с доказательствами на основании результатов работ [3] и [4] изложили теорию централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматрели формационные свойства нильпотентных алгебр работы[2], на основании результатов 3 ввели понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказали следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.
Список литературы
Скорняков, Л.А., Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. – 272 с.
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989. – 256 с.
Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. – 120 с.
Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.–351 с.
Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр // Вопросы алгебры. – 1996.–Вып.10 с. 144–152
Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. – 1992. – Вып.7.–с. 76–85
Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра // Лекции по спецкурсу «Универсальные алгебры». Ч1.–Гомель. 2002. – с. 35.