Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что всяпроизводимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]], направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(t)=lI(t) (а)

(Здесь пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]], получим

I(t)=mY(t)=mpy(t), (б)

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) - постоянная величина, 0 m 1.

Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в (а), приходим к уравнению

, (в)

где k=mpl.

Полученное дифференциальное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t)= .

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p(y) (с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

, (г)

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение для можно записать в виде

и условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или - 1 , то и функция y(t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

Здесь k - положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

из которого определим функцию x (t):

Здесь E = . Такого вида функция называется логистической, а её график - логистической кривой.

Если теперь учесть, что х (0) = х ₀ и положить х ₀ = N/ , где  >, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

На рис.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях α. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y (t), E(t), S(t), I(t) - соответственно национальный доход [см.словарь[5]], государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения: (а)

где a(t) - коэффициент склонности к потреблению (0 < а (t) < 1), b(t) - автономное (конечное) потребление, k(t) - норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу - этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления - эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы - они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

. (б)

Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

. (в)

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ = 0, т.е.

. (г)

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (в) имеет вид

. (д)

Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис.4. Если в начальный момент времени Y₀ < Y_p, то С = Y₀ - Y_p < 0и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y₀ > Y_p, то С > 0 и национальный доход растет во времени - интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y_р. Уравнение (в) является автономным; точка Y = Y_p представляет собой точку неустойчивого равновесия.