Задача. вывести основное уравнение движения жидкости - уравнение непрерывности.
Решение.
Пусть - поле скоростей движущегося потока жидкости. Предположим, что в данной области нет ни источников, ни стоков, то есть жидкость не появляется и не исчезает. Будем считать жидкость сжимаемой, что означает, что её плотность зависит не только от точки, но и от времени. Обозначим плотность через ρ (x, y, z, t). выясним, как связана скорость движения жидкости с изменением её плотности.
Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью σ. Подсчитаем изменение количества жидкости Q, находящейся в объеме V в единицу времени. С одной стороны, количество жидкости, вытекающей из данного объема, равно потоку вектора через поверхность σ и вычисляется по формуле
.
С другой стороны, если за единицу времени плотность изменилась на величину , то масса элементарного объема dV изменится на . А масса всего объема V изменится на . Таким образом, .
Знак «-» берем, считая, что, если жидкость вытекает, то её количество внутри V уменьшается. Приравниваем полученные выражения: .
|
|
По формуле Остроградского преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему.
Имеем .
Поскольку объем был выбран произвольно, то из последней формулы получаем:
Окончательно имеем:
Раскрыв выражение уравнение можно написать в виде: .
Полученное уравнение называют уравнением непрерывности.
Уравнения Максвелла
Задача. Вывести уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Решение.
Для электромагнитного поля Е и Н - векторы электрической и магнитной сил; r - вектор полного тока; D - вектор электрического смещения; В-вектор магнитной индукции.
Два основных закона электродинамики, являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть записаны в виде
(1)
(2)
где с - скорость света в пустоте.
Первое уравнение связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через эту поверхность.
Второе уравнение связывает циркуляцию вектора электрической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях l - произвольный замкнутый контур, S - поверхность им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и B связаны с векторами E и H:
где ε - диэлектрическая постоянная, μ - магнитная проницаемость среды. Вектор полного тока состоит из двух слагаемых - тока проводимости и тока смещения:
,
|
|
где - коэффициент проводимости среды. Таким образом, окончательно уравнения (1) и (2) принимают вид
(3)
(4)
По теореме Стокса
,
тогда уравнения примут вид:
.
Ввиду произвольности поверхности S, а следовательно и направления нормали n, из последних уравнений вытекает
(5)
(6).
Уравнения (5) и (6) представляют собою уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Заключение
В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по основам теории поля. В первой главе дано описание скалярных и векторных полей, введены понятия градиента, дивергенции, циркуляции, потока и ротора. Во второй главе рассмотрены различные виды полей и их свойства. В третьей главе были выведены уравнения Максвелла, являющиеся основными законами электродинамики и уравнение движения жидкости (уравнение непрерывности).
По результатам дипломной работы можно сделать вывод, что с помощью векторного анализа можно описать поведение любого поля, в любой точке пространства пользуясь рядом характеристик, таких как градиент, дивергенция, циркуляция, поток, ротор.
Данную дипломную работу можно использовать как методическое пособие для студентов технических ВУЗов при ознакомлении с теорией поля и при выводе формул прикладной физики. В дальнейшем дипломную работу можно было развить в сторону вывода уравнений, используемых в теоретической физике для описания процессов, происходящих в различных средах. Основными из них являются уравнение теплопроводности, уравнения распространения звука и уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
Список литературы
1. Барман П.Н. Сборник задач по курсу математического анализа - М: «Наука», 1964 г.
. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс высшей математики - М: «Наука», 1969 г.
. Вирченко Н.А., Ордынская З.П. Методические указания к теме «Элементы теории поля» - Киев: КПИ, 1983 г.
. Демидович Б.П. Сборник задач по курсу математического анализа - М: Гос. издательство физико-математической литературы, 1962 г.
. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике - М: «Высшая школа», 1983 г.
. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ - М: «Наука», 1978 г.
. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Теоретическая физика, том 6. Гидродинамика - М: «Наука», 1988 г.
. Селезнева Ф.Г., Бурыкин А.Я. Методические указания по применению теории поля в задачах электротехники - Киев: КПИ, 1989 г.
. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 - М: «Наука», 1974 г.
. Соболев С.Л. Уравнения математической физики - М: «Наука», 1981 г.
. Большой энциклопедический словарь. Математика - М: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998 г.