Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к точке а, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к а, причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.
Число b называется пределом функции на бесконечности при
, если для любого существует число такое, что для всех
из того, что , выполняется неравенство
Свойства функции, имеющие предел
Теорема 1.(единственность предела). Если функция имеет предел
то это предел единственный.
Теорема 2.(необходимое условие существования предела). Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .
Теорема 3.Если функция имеет конечный предел при равный
и , то существует проколатая окрестнось точки такая, что для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство .
Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности имеет место неравенство
. Тогда если существуют конечные пределы и
, то .
Теорема 5. («о двух милиционерах») Пусть в некоторой окрестности для функций , , имеют место неравенства
. Если существуют конечные пределы , то существует предел .
Теорема 6.(об арифметических операциях с пределами функций). Если функции
и имеют конечные пределы при , то справедливы равенства
, ,а если
, то и равенство
Теорема 7. (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три условия:
1) существует конечный предел ;
2) существует конечный предел ;
3) существует такая проколотая окрестность , что для любого x выполнено условие
.
Тогда существует .
Теорема 8. Если существуют конечные пределы и , то существует предел .