Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появиться в  испытаниях ровно  раз:

.

При применении формулы учитывается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях  достаточно трудно.

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, если число испытаний велико, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно.

Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно  раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико (приближенное равенство тем точнее, чем больше ).

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна:

,

где

; .

Имеются таблицы, в которых даны значения функции ,

соответствующие положительным значениям аргумента  (см. приложение 1).

Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как – функция четная, то есть .

Пример. Найти вероятность того, что событие  наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании

равна 0,2.

Решение. По условию, .

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

.

Вычислим определяемое данными задачи значение :

.

По таблице приложения 1 находим .

Искомая вероятность:

.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):

.