Напряженное состояние в точке грунтового массива

Мерой количественной оценки напряженно-деформированного состояния массива грунта являются напряжения, деформации и перемещения, возникающие от действия внешних нагрузок и внутренних сил.

Напряженно-деформированное состояние в точке грунтового массива определяется нормальными (s_x, s_y, s_z) и касательными напряжениями (t_xy = t_yx,   t_yz = t_zy, t_xz = t_zx), линейными (e_x, e_y, e_z) и угловыми деформациями (g_xy = g_yx,   g_yz = g_zy, g_xz = g_zx) и перемещениями (u, v, w). В механике грунтов сжимающие напряжения принимаются со знаком плюс. Составляющие напряжений в элементарном объеме грунта представлены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Составляющие напряжений в элементарном объеме грунта

     Для изучения распределения напряжений в какой-либо точке внутри грунтового массива обычно выделяют у этой точки трехгранную призму и рассматривают условия ее равновесия. Эта призма должна иметь малые поперечные размеры по сравнению с размерами массива грунта, чтобы ее можно было считать бесконечно малой и рассматривать напряжения в точке. С другой стороны, эти размеры должны быть достаточно большими по сравнению с размерами отдельных частиц грунта, чтобы можно было применять теорию напряжений.

По боковым граням выделенной призмы будут действовать нормальные и касательные напряжения. Величина этих напряжений будет изменяться при изменении положения боковых граней призмы. Как известно из курса сопротивления материалов, в каждой точке существуют две такие взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называются главными площадками, а действующие в них нормальные напряжения – главными напряжениями (s₁ ³ s₂ ³ s₃).

Если грани АВ и ВС, образующие в рассматриваемой призме прямой угол, ориентировать по направлению главных площадок, то к ним будут приложены главные напряжения s₁ и s₃, а касательные напряжения будут отсутствовать (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Распределение напряжений по граням элементарной

                           трехгранной призмы

По грани АС, составляющей с одной из главных площадок угол a, будут действовать нормальное и касательное напряжения s и t, величину которых можно определить из выражений

                                   ,     

                                 .                                                         (3.1)

Полное напряжение, приложенное к грани АС, будет равно

                                    .                                                      (3.2)

  Отклонение суммарного напряжения от нормали образует угол q, который называют углом отклонения. С изменением угла a изменятся s_sum  и q. При       a = 0, s_sum = s₁, а при a = 90⁰ получим s_sum = s₃, причем в обоих случаях q = 0.

Распределение напряжений в точке по различным площадкам применительно к условиям плоской задачи можно описать с помощью уравнения эллипса напряжений:

                                                .                                               (3.3)

Зависимость угла q от угла a определяется следующим выражением:

                                    .                                           (3.4)

Направление двух площадок при наибольшем угле отклонения q_max, соответствует углу a = 45⁰ ± q_max/2. Для этих площадок характерно наибольшее отношение касательного напряжения к нормальному t/s.

Как видно из выражения (3.1), наибольшее касательное напряжение t _max будет при sin 2a = 1 или a = 45⁰. Таких площадок также две, и они делят угол между главными площадками пополам.