При горизонтальной поверхности засыпки

Рассмотрим условие предельного равновесия элементарной призмы, вырезанной из призмы обрушения вблизи задней грани подпорной стенки (рис. 7.5, а). Так как трение грунта о подпорную стенку отсутствует (стенка абсолютно гладкая), на вертикальных и горизонтальных площадках действуют главные напряжения s₁ и s₃. При небольших смещениях стенки возникает предельное равновесие рассматриваемой призмы. Условие предельного равновесия может быть записано согласно уравнению (5.4). При этом вертикальное главное напряжение равно напряжению от собственного веса грунта:

                                               s₁ = g×z,                                                           (7.3)

где g –удельный вес грунта; z – глубина от поверхности засыпки.

Тогда условие предельного равновесия для рассматриваемой призмы запишется в следующем виде:

                                s₃ = s₁×tg²(45⁰- j /2) = g×z×tg²(45⁰- j /2).                      (7.4)

Напряжение s₃ – это и есть активное давление грунта на подпорную стенку. Из выражения (7.4) следует, что эпюра активного давления имеет вид треугольника (рис. 7.5, б). Равнодействующая активного давления численно равна площади этой эпюры. При высоте стенки h равнодействующая может быть определена по формуле

                         .                                            (7.5)

Точка приложения равнодействующей Е_а находится в центре тяжести эпюры, т.е. на расстоянии 1/3 Н от ее подошвы.

  Аналогично можно найти выражение для пассивного давления грунта.

При этом наибольшим будет горизонтальное напряжение, а не вертикальное, как в случае активного давления. Тогда ордината пассивного давления равна

                                s_р  = g×z×tg²(45⁰ + j /2),                                                   (7.6)

а равнодействующая пассивного давления

                               .                                              (7.7)                 

Здесь h – заглубление подпорной стенки в грунт.

Пользоваться выражением (7.7) нужно с осторожностью, так как расхождение с точным решением может быть значительно и возрастает с увеличением угла j.

Иногда используют следующие обозначения:

             tg²(45⁰- j /2) = l_а –коэффициент активного давления;

            tg²(45⁰ + j /2) = l_р –коэффициент пассивного давления.

Рис. 7.5. Схема действия сил и эпюры давления идеально сыпучего

грунта на гладкую подпорную стенку:

1 – призма обрушения; 2 – эпюра активного давления; 3 – эпюра пассивного давления