Принципы оптимального управления

Корневой метод оценивания качества переходных процессов

По корням характеристического уравнения можно достаточно просто определить показатели качества переходного процесса динамической системы, если числитель передаточной функции имеет нулевой порядок.

Для одноканальных систем вида

реакция на входной сигнал при ненулевых начальных условиях описывается соотношением

.

Общее решение дифференциального уравнения, которое описывает рассматриваемую систему, представляет собой линейную комбинацию мод:

где  - корни характеристического уравнения, d_i – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Каждая мода эквивалентна решению системы первого или второго (если корни комплексно - сопряженные) порядков. Скорость затухания соответствующей экспоненты зависит от численного значения . Поэтому на основе корней характеристического уравнения можно оценить граничные составляющие переходного процесса: самую быструю, самую колебательную моду и т.п.

Корневой оценкой быстродействия служит расстояние до мнимой оси ближайшего к ней корня, то есть

, по величине η можно вычислить время переходного процесса:  , данное выражение используется, если допустимая статическая ошибка не превышает 5%. В общем случае используется соотношение: , где - относительная статическая ошибка. Колебательность системы можно оценить с помощью выражения вида: , где  - мнимая и действительная части пары комплексно-сопряженных корней. Показатель колебательности однозначно связан с перерегулированием:   .