Методы расчета нелинейных электрических цепей. Расчет схем с резистивными НЭ на постоянном токе

33 34 35 36 37 38 39

1. Аналитический

2. Линейной аппроксимации

3. Кусочно-линейной аппроксимации

4. Графический

5. Графо-аналитический

6. Численный

Аналитический метод расчета НЦ

Суть аналитического метода заключается в составлении и решении нелинейной системы уравнений Кирхгофа. Нелинейные элементы при этом задаются своими ВАХ в виде математического (аналитического) выражения. Например, для ниже представленной цепи

Если ВАХ НЭ представлчется в виде , то система нелинейных алгебраических уравнений Кирхгофа сводится к одному квадратному уравнению относительно тока в НЭ i_нэ.

Метод линейной аппроксимации

Нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным сопротивлением. Для выще приведенной схемы с НЭ, ВАХ которого имеет вид ниже предсталена линейная аппроксимация НЭ сопроивлением R₀.

В этом случае и уравнения Кирхгофа становятся линейной системой алгебраических уравнений.

Решения этой линейной системы дает значения токов в ветвях цепи. Следует отметить, что точность результатов такого расчета может существенно отличаться от расчета исходной нелинейной цепи. Поэтому этот метод используется скорее для качестенной оценки процессов в цепях с НЭ.

Метод кусочно-линейной аппроксимации

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ участок линеаризации заменяется источником эдс с внутренним линейным сопротивлением

На первом этапе расчета параметры участка линеаризации берутся равными: . Если после расчета получившейся линейной схемы окажется , то следует изменить параметры и на значения соответствующие второму участку линеаризации . Затем расчет надо повторить

Графический метод расчета НЦ

Графический метод расчета применяется когда схема НЭЦ представляет собой комбинацию последовательно--параллельного соединения элементов.

Заданы ВАХ НЭ1, НЭ2, НЭ3 Требуется рассчитать .

НЭ2 и НЭ3 соединены параллельно, то есть напряжения одинаковы. ВАХ этих элементов можно сложить задаваясь рядом значений напряжений и, складывая соответствующие значения токов. В результате получится НЭ4 с ВАХ .

Далее НЭ1 и НЭ4 соединены последовательно с общим током . Их можно заменить эквивалентным НЭ5, который получится, если сложить НЭ1 и НЭ4, задаваясь рядом значений тока и, складывая соответствующие значения напряжений.

После проведенных графических построений расчет токов и напряжений проводится следующим образом. При заданном эдс становится известным напряжение на НЭ5. По ВАХ НЭ5 находится ток По току и ВАХ НЭ4 находится напряжение . По напряжению и ВАХ НЭ2 и НЭ3 ищутся токи и .

Графо-аналитический метод расчета НЦ

Графо-аналитический метод эффективен, когда схема содержит один НЭ. В этом случае линейная часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами .

Для данной схемы параметры эквивалентного генератора

По второму закону Кирхгофа для эквивалентной схемы

Выражение в правой части называется внешняя характеристика ЭГ.

Графически внешняя характеристика ЭГ-это прямая линия. Решением является точка пересечения графиков НЭ и внешней характеристики ЭГ.

Численный расчет НЦ методом итераций

Суть численного метода заключается в том, что неизвестные значения токов или напряжений в НЭ на первом этапе расчета задаются как известные (нулевое приближение). Далее решается система уравнений Кирхгофа и находятся новые значения токов или напряжений в НЭ (первое приближение). Процесс пересчета (итерации) повторяется многократно (итерационный процесс) до установления повторяющихся значений токов в НЭ. В этом случае говорят, что итерации сходятся к решению. В курсе математики существует понятие критериев сходимости итерационного процесса. Сходимость зависит от выбора начального приближения и аргумента функции ВАХ.

Для большинства электротехнических нелинейных задач выполнение критерия сходимости связано с выпуклстью или вогнутостью вольт- амперных характеристик НЭ, то есть с монотонно убывающей или монотонно возрастающей производной вольт- амперной функции du/di. Если ВАХ НЭ имеет вогнутый характер, то в качестве начального приближения для НЭ следует брать напряжение на нем, если ВАХ НЭ имеет выпуклый характер характер, то в качестве начального приближения для НЭ следует брать ток в нем.

Вогнутый характер ВАХ НЭ, процесс итераций сходится к решению при задании начального приближения

Выпуклый характер ВАХ НЭ, процесс итераций сходится к решению при задании начального приближения

Если ВАХ НЭ имеют более сложный вид не монотонного характера и выполнение критериев сходимости проблематично можно использовать один из эффективных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений обеспечивающих сходимость итерационного процесса метод расщепления нелинейного уравнения. Суть метода расщепления в том, что из нелинейной части вычитается линейная часть, определяемая максимальным дифференциальным параметром ВАХ НЭ. Например, для цепи, изображенной ниже

По методу расщепления вместо исходного нелинейного уравнения вводится уравнение

которое записывается в виде

Тогда в матричной форме система уравнений Кирхгофа запишется в виде

При таком подходе итерируется только правая часть, а матрица коэффициентов системы не изменяется, что обеспечивает минимальное время счета на ЭВМ и сходимость итераций к решению.

Тема 10. Нелинейные магнитные цепи постоянного тока

Роль ферромагнитных сердечников в формировании магнитного поля

Магнитное поле характеризуют векторы магнитной индукции (Тл) и напряженности магнитного поля (А/м). Силовой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция. Вектор напряженности магнитного поля определяется макротоками (это токи проводимости в проводящих средах, токи электрического смещения в диэлектрических средах). Связь между ними определяется законом Био-Савара-Лапласа и законом полного тока

Связь между векторами и является материальным уравнением магнитного поля.

В этом уравнении учитывается влияние микротоков материальной среды, в которой существует магнитное поле.

Коэффициент пропорциональности в материальном уравнении - абсолютная магнитная проницаемость вешества, - относительная магнитная проницаемость вещества, , Гн/м – магнитная постоянная.

Микротоки диамагнетиков и парамагнетиков практически не изменяют ндукцию магнитного поля. Микротоки ферромагнетиков кооперируясь в виде доменов значительно усиливают . Значение относительной магнитной проницаемости ферромагнетиков может достигать 800000 (пермоллой). Магнитные свойства ферромагнетиков определяются кривой намагничивания

Основная кривая намагничивания Петля гистерезиса

Магнитное поле обладает свойством непрерывности магнитных силовых линий индукции (условие соленоидальности).

Расчеты магнитных полей предполагают решение уравнений: закона полного тока и условия соленоидальности магнитного поля. Для упрощения такого решения можно ввести допущения:

1. Пренебречь потоками рассеяния магнитного поля.

2. Принять распределение индукции по сечению магнитопровода однородным (равномерным).

Принятие таких допущений приводит к созданию упрощенной модели магнитных полей - магнитным цепям.

Например, магнитная система постоянного тока