Тема 5. Методы математической статистики

 

Содержание темы.

 

Математическая статистика - область современной математики, основанная на теории вероятностей и занятая поиском законов изменения и способов измерения случайных величин, обоснованием методов расчетов, производимых с такими величинами.

Математическая статистика возникла (XVII в) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др.

В XX в. Наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И. Романовский, Е.Е. Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов).

Математическая статистика применяется не только в экономических науках, но и в педагогике, психологии, а также в других областях практической науки. В нашей повседневной жизни мы, сами о том не догадываясь, постоянно занимаемся статистикой. Хотим ли мы спланировать бюджет, рассчитать потребление бензина автомашиной, оценить усилия, которые потребуются для усвоения какого-то курса, с учетом полученных до сих пор отметок, предусмотреть вероятность хорошей и плохой погоды по метеорологической сводке или вообще оценить, как повлияет то или иное событие на наше личное или совместное будущее, — нам постоянно приходится отбирать, классифицировать и упорядочивать информацию, связывать ее с другими данными так, чтобы можно было сделать выводы, позволяющие принять верное решение.

 

Рассмотрим основные этапы простейшей статистической обработки данных:

1) сначала данные измерений упорядочивают и группируют;

2) составляют паспорт данных измерения, который состоит из основных числовых характеристик полученной информации;

3) затем составляют таблицы распределения данных;

4) с помощью таблиц распределения строят графики распределения данных в виде многоугольника распределения, гистограммы распределения или круговой диаграммы.

 

Введем основные понятия, необходимые нам для обработки ряда данных.

Каждое число, встретившееся в конкретном измерении, называют вариантой измерения.

Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась k раз, то число k называют кратностью этой варианты.

Если записать все варианты в порядке возрастания, начиная с наименьшей, то получим сгруппированный ряд данных.

Среднюю варианту в сгруппированном ряду данных называют медианой.

Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке.

Объем измерения – это количество вариант данного ряда.

Частное от деления суммы всех вариант на объем измерения называется средним (средним арифметическим).

Размах измерения –это разность между наибольшей и наименьшей вариантой.

Если кратность варианты разделить на объем измерения, то получим частоту варианты.

А если частоту варианты умножить на 100%, то получим частоту варианты в процентах.

 

Рассмотрим пример 1.

 

При изучении учебной нагрузки выделили группу из 12 учащихся одного класса. Их попросили в определенный день отметить время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по математике.

Получили следующие результаты: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25.

 

Это общий ряд данных, с ним работать неудобно, поэтому составим упорядоченный ряд данных: 18,20,23,25,25,25,25,26,32,34,34,37.

Определим основные характеристики:

Медиана=25;

мода =25;

объем=12,

среднее=(18+20+23+25+25+25+25+32+34+34+37):12=27;

размах=19.

 

Таблица распределения данных: частот и частот в% (сводная).

Варианта	18	20	23	25	26	32	34	37
Кратность	1	1	1	4	1	1	2	1
Частота	0,08	0,08	0,08	0,33	0,08	0,08	0,17	0,08
Частота,%	8	8	8	33	8	8	17	8

 

С помощью этой таблицы мы можем построить различные графики:

- график распределения данных (график кратностей);

- график распределения частот в %.

 

Способы графического представления ряда данных:

-гистограмма (столбчатая диаграмма);

- круговая диаграмма;

- многоугольник распределения (полигон).

 

1)Построим гистограмму распределения данных.

2)построим круговую диаграмму распределения частот в %.

360◦:98=3,7◦- 1 %.

3,7◦∙8=29,6◦ - это 8%.

3,7◦∙33=122,1◦ - это 33%

3,7◦∙17= 62,9◦- это 17%.

 

Пример 2. У 25 девятиклассников спросили, сколько часов в день в среднем они смотрят телевизор. Вот что получили:

Часов	0	1	2	3	4
Человек	1	9	10	4	1

 

Определите: основные характеристики данного ряда, постройте полигон распределения процентных частот.

 

Объем=25, мода=2, медиана= 2, размах=3, среднее=45:25=1,8,

Таблица частот в %:

 

Часов	0	1	2	3	4
Человек	1	9	10	4	1
Частота, %	4	36	40	16	4

 

По горизонтали – часы, по вертикали – частоты, точки соединить.

 

В некоторых измерениях в качестве варианты используют не число, а интервал (промежуток), например, от 1 до 3 часов, от 3 до 5 часов.

Итак, математическая обработка информации, собранной в результате проведенного измерения, позволяет упорядочить данные, чтобы они занимали меньше места, представить наглядно результаты измерения, выяснить основные характеристики ряда данных.