Накопительная олимпиада по математике. 6 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года. Решения

Накопительная олимпиада по математике. 5 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года

 

1. В стране «Четырнадцать» имеется 14 городов, которые называются Один, Два,..., Четырнадцать. Два города соединены дорогой, если их номера отличаются на 4 или на 11. Верно ли, что из любого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам?

 

2. Вспоминая, сколько друзей было у Кости на дне рождения, Максим сказал «не меньше восьми», Наташа «не больше семи», Егор «меньше девяти», Андрей «больше восьми», Таня «меньше десяти», а Марина «больше девяти». Затем выяснилось, что некоторые из них ошиблись. Докажите, что ошиблись ровно трое.

 

3. Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами (то есть 1, 3, 5, 7, 9)?

 

4. Отметьте в квадрате 8 х 8 клеток несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

 

5. Можно ли расположить числа от 1 до 9, взятые по одному разу, в строку так, чтобы после вычёркивания любых пяти из них остальные четыре не располагались ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания?

 

Накопительная олимпиада по математике. 5 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года. Решения

 

1. Ответ: верно.

Решение. Города соединены «по цепочке» 11 – 7 – 3 – 14 – 10 – 6 – 2 – 13 – 9 – 5 – 1 – 12 – 8 – 4.

 

2. Решение. в каждой из пар утверждений

1) «не меньше восьми» и «не больше семи»

2) «меньше девяти» и «больше восьми»

3) «меньше десяти» и «больше девяти»

ровно одно верное. Значит, всего верных утверждений три из шести.

 

3. Ответ: может.

Решение. Например, A = 219. Тогда B = 912, A + B = 1131.

 

4. Решение. См. рис.

 

5. Ответ: можно.

Решение. Например, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 9, 8, 7. Или 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3. Есть и другие способы.

 

Накопительная олимпиада по математике. 6 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года

 

1. В распоряжении Наташи имеется 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г (все плитки ориентированы одинаково). Может ли Наташа составить из них прямоугольник размером 5 х 8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать. На рисунке изображено неверное решение: заштрихованные по диагонали плитки неправильно ориентированы.)

 

 

2. Можно ли натуральные числа от 1 до 22 разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел было равно сумме остальных чисел этой группы?

 

3. Сколькими способами из шахматной доски 8 х 8 клеток можно вырезать «по клеточкам» прямоугольник площадью 6 клеток?

 

4. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2020. Разрешается заменить любое число на произведение его цифр или любые два числа на их сумму. Можно ли такими заменами добиться, чтобы среди чисел на доске появилось 2500000?

 

5. В одной из вершин куба сидит муха. Три охотника стреляют залпом, при этом они могут поразить любые три вершины куба. Если они не попадают, то до следующего залпа муха перелетает в одну из трех соседних вершин куба. (Вершины куба считаются соседними, если они соединены ребром.) Как стрелять охотникам, чтобы обязательно попасть в муху за четыре залпа?

 

Накопительная олимпиада по математике. 6 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года. Решения

 

1. Ответ: может.

Решение. Один из возможных примеров на рисунке.

 

2. Ответ: нельзя.

Решение. Пусть мы смогли разбить числа требуемым образом. Заметим, что сумма чисел в каждой группе чётна (она в 2 раза больше того числа, которое равно сумме остальных чисел в этой группе). Но тогда сложим суммы чисел в группах и заметим, что сумма всех чисел чётна. С другой стороны, сумма чисел 1 + 2 +... + 22 нечётна. (Она равна 253. Можно также заметить, что нечётных слагаемых в этой сумме нечётное число, поэтому такая сумма нечётна.)

 

3. Ответ: 132.

Решение. Сначала вырежем горизонтальный прямоугольник 2 х 3. Он может располагаться по высоте 7 способами и по ширине 6 способами. Итого 42 расположения. Аналогично, 1 х 6 можно вырезать 8 х 3 = 24 способами. Всего, учитывая возможность располагать прямоугольники вертикально, число способов 2(42+24)=132.

 

4. Ответ: нельзя.

Решение. Произведение цифр числа не больше самого числа. Сумма написанных чисел меньше 3000000.

 

5. Решение. Покрасим вершины в 2 цвета так, чтобы соседние (т. е. соединённые ребром) вершины были разноцветными. Стреляем в три вершины первого цвета. Затем в три вершины, соседние с оставшейся вершиной этого цвета. Если не попали – значит, исходно (а поэтому и через два хода) муха была в вершине второго цвета. Тогда стреляем в три вершины второго цвета, а затем – в вершины, соседние с оставшейся вершиной второго цвета.