Преобразование уравнения к итерационному виду

Уравнение F(x)=0 может быть приведено к виду  многими способами, однако это требуется сделать так, чтобы для функции f(x) выполнялись условия (1) – (3) теоремы 1. Помимо обычных преобразований, используются специальные приемы:

а) уравнение F(x)=0 преобразуем к виду , где m – отличная от нуля константа. В этом случае можно принять . Дифференцируя, получим . Для того, чтобы было , достаточно подобрать m так, чтобы для всех х отрезка [a, b] значение .

б) пусть уравнение F(x)=0 записано в виде , однако при исследовании функции f(x) на отрезке [a, b] оказалось, что для всех х из этого отрезка . Тогда вместо функции  рассмотрим функцию , обратную для f(x). Будем теперь решать уравнение . По свойству производных обратных функций теперь на отрезке [a, b] будет иметь место: , так что для уравнения , равносильного исходному, условие (3) теоремы 1 окажется выполненным.

Пример 2. Привести уравнение  на отрезке [1,3; 1,5] к итерационному виду.

Воспользуемся следующим представлением: .

В этом случае .

Попробуем подобрать константу m так, чтобы для функции f(x) были выполнены условия (2) и (3) теоремы 1.

Проверка условия 2. Заметим, что на достаточно малом отрезке [1,3; 1,5] функцию можно считать монотонной. Кроме того, в крайних точках отрезка функция имеет вид:

 

Из этих равенств следует, что m – правильная отрицательная дробь (по условию 2 теоремы 1 значения функции f(x) должны принадлежать отрезку [1,3; 1,5] для всех х из этого отрезка).

Проверка условия 3. Заметим, что по модулю максимальное значение функции  равно 0,264344. Следовательно, чтобы выражение  достаточно принять . Учитывая, что , можно принять q=0,1. Таким образом, уравнение примет вид: , при этом условие прекращения итерации будет иметь вид: .

По методу простой итерации легко пишется программа уточнения корня на ЭВМ. При x₀=1.4, e = 10^-6, q = 0.1 результаты работы будут иметь вид: x = 1,399429 10^-6.

 

Задание

Для заданного нелинейного уравнения с одной переменной (из таблицы 1) найти все корни в соответствии со следующим алгоритмом:

1. Графическим методом отделить корни уравнения (уменьшить отрезки с помощью ЭВМ);

2. Составить программу уточнения всех корней методом половинного деления с точностью 10^-6;

3. Привести уравнение к итерационному виду на любом одном отрезке отделения, вычислив константы m и q;

4. Отредактировать программу, добавив в нее уточнение любого одного корня методом простой итерации с точностью 10^-4;

5. Для проведения сравнительного анализа выбранных методов вычислить значение функции F(x)=0 в точках, являющихся приближенными корнями уравнения, и оценить степень их приближенности к нулю.

Таблица 1.

 

№ варианта	Уравнение	Пояснения
1
2	x-10·sinx = 0
3		При x < 10
4		При x > -10
5		При x < 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

 

Лабораторная работа № 2

Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений».

Цель: изучить основные методы численного решения систем линейных уравнений: методами простой итерации, методом Зейделя, методом ортогонализации; уметь определять тип выбранного метода – приближенный или точный (по алгоритму решения), а также уметь проводить сравнительный анализ результатов, полученных различными методами.

В результате выполнения лабораторной работы студент должен

ЗНАТЬ:

- основные понятия алгебры и начала анализа (линейное уравнение, система линейных уравнений, совместная и несовместная система, решение системы уравнений);

- стандартные (прямые) методы решения системы линейных уравнений (метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод и т.д.);

УМЕТЬ:

- определять существование и единственность решения системы линейных уравнений;

- приводить систему к итерационному виду и решать ее с помощью метода простой итерации (определять метрику сходимости);

- приводить систему уравнений к «нормальному» виду и решать ее с помощью метода Зейделя;

- применять метод ортогонализации для нахождения точного решения (с учетом вычислительной погрешности ЭВМ);

- проводить сравнительный анализ применения каждого из методов.

ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:

- о классификации численных методов решения систем алгебраических методов;

- об основных элементах теории векторной алгебры (базис, ортогональность, норма вектора и т.д.);

- о геометрической интерпретации метода простой итерации.

 

Постановка задачи

Численные методы решения линейных алгебраических систем разделяют условно на:

a) точные (прямые);

b) итерационные.

Прямые методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точно (без ошибок округления), то решение заданной системы также получается точным. К прямым методам относят: метод Крамера, методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса и его модификации), метод ортогонализации. Прямые методы применяются для решения систем на ЭВМ с числами порядка не выше 10³.

Итерационные методы являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вычисляемых по единой схеме. К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, градиентные методы и их модификации. На практике итерационные методы применяются для решения систем с числами порядка 10⁶.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

В матричной форме эта система может быть записана в виде: A · X = B.

Здесь

 

 

Решением системы называется такая упорядоченная совокупность чисел x₁=c₁, x₂=c₂, …, x_n=c_n, которая обращает уравнения системы в верные равенства. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной (противоречивой), если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если более одного решения.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот.

Матрица

,

полученная из матрицы A добавлением столбца свободных элементов, называется расширенной.

Если матрица A квадратная и ее определитель не равен 0, то она называется невырожденной.

Система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, имеющая невырожденную матрицу A, совместна и имеет единственное решение.

Введем некоторые определения:

Обратной по отношению к данной называется матрица A^-1, которая в результате умножения справа или слева на A, дает единичную матрицу, т.е.

Матрица A^T, полученная перестановкой в матрице A строк и столбцов, называется транспонированной.

Квадратная матрица A называется симметричной, если она равна транспонированной, т.е. a_ij = a_ji.

Матрица A называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов равна 0, т.е. A^T · A = E.