Лекция
Тема: «Приложения производной»
План
Применение производной к вычислению пределов функций (правило Лопиталя).
Геометрический и механический смысл производной
Применение производной к исследованию функций и построению их графиков.
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для нахождения предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. для раскрытия неопределенности вида или .
Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х 0, исключая, быть может, саму точку х 0, и пусть эти функции являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими. Тогда если существует предел отношения производных при х ® х 0, то он равен пределу отношения самих функций
.
Пример. Пользуясь правилом Лопиталя, найти .
Решение: Имеем неопределенность вида (0/0). Применяя правило Лопиталя, получим:
.
Еще смотрите здесь:
ШИПАЧЕВ В.С. Задачник по высшей математике с. 64-65 пункт 2 – выучить и рассмотреть примеры решения задач на с.65-66
|
|
Геометрический смысл производной.
Уравнения касательной и нормали к графику функции
Касательная определяется как предельное положение секущей. Прямая l называется касательной к кривой в точке M 0, если она проходит через эту точку и угол a между прямой l и секущей MM 0 стремится к нулю при M ® M 0.
Производная функции f ¢(x 0) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f (х) в точке x 0, т. е. f ¢(x 0) — это тангенс угла наклона касательной к оси Ox, проведенной в точке M 0(x 0; f (x 0)):
f ¢(x 0) = k кас. = tg a.
Уравнение касательнойк графику функции y = f (x 0) в точке M (x 0; f (x 0)):
y = f (х 0) + f ¢(х 0)(x – x 0).
Нормалью к кривой в точке M 0 называется прямая, проходящая через точку M 0 перпендикулярно касательной в этой точке.
Уравнение нормали к графику функции y = f (x 0) в точке M (x 0; f (x 0)):
, если f ¢(х 0) ¹ 0,
x = x 0, если f ¢(х 0) = 0.
Пример. Написать уравнение касательной к графику функции y = 2 x 2 + 1, параллельной прямой y = 3 – 2 x.
Решение. Касательная и прямая y = 3 – 2 x параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты совпадают, значит, угловой коэффициент касательной k = –2. С другой стороны, согласно геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной k равен значению производной в точке касания:
.
Отсюда находим точку касания: 4 x 0 = –2, x 0 = –0,5.
Осталось подставить x 0 = –0,5 в уравнение касательной: y = y 0 + y ¢(х 0)(x – x 0).
Найдем y 0: y 0 = 2×(–0,5)2 + 1 = 1,5. Тогда уравнение касательной: y = 1,5 + (–2)×(x + 0,5), y = –2 x + 0,5.
Ответ: y = –2 x + 0,5.