Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции от , тогда имеет место формула:
, (3)
которая выражает правило интегрирования по частям.
С помощью формулы (3) вычисление интеграла сводится к нахождению интеграла , который должен быть проще исходного либо ему подобным.
Порядок вычислений:
1) все подынтегральное выражение разбить на две части: одну обозначить через , другую – через ;
2) вычислить дифференциал от функции по формуле и функцию
, интегрируя ;
3) применить формулу интегрирования по частям;
4) вычислить интеграл и записать окончательный ответ.
Основные типыинтегралов, берущихся по частям приведены в таблице 4.
Пример 1. 23.
. Это интеграл I типа. Поэтому положим . Отсюда , а (при нахождении функции произвольную постоянную во внимание можно не принимать). Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
.
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять два раза и более.
|
|
Пример 1. 24. Рассмотрим интеграл I типа.
.
Интегралы вида или сводятся к интегралам I типа с помощью формул тригонометрии: .
Таблица 4