Простейшие следствия из аксиом будут играть в дальнейшем важную роль. Они почти очевидны, но доказываются.
Следствие 1. Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть даны прямая a и не принадлежащая ей точка A.
Выберем на прямой a любые точки B и C.
Через точки B и C проходит только одна прямая — прямая a. Так как точка A по условию теоремы не принадлежит прямой a, то точки A, B и C не принадлежат одной прямой.
По аксиоме R 2 через точки A, B и C проходит только одна плоскость — плоскость ABC, которую обозначим α. Прямая a имеет с ней две общие точки — точки B и C, следовательно, по аксиоме R 4 эта прямая лежит в плоскости α. Таким образом, плоскость α проходит через прямую a и точку A и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую a и точку A ∉ a, не существует.
Предположим, что есть другая плоскость — α1, проходящая через точку A и прямую a. Тогда плоскости α и α1 проходят через точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость α единственная. Теорема доказана.
|
|
Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.
Следствие 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть данные прямые a и b пересекаются в точке C.
Выберем на прямых a и b любые точки A и B, отличные от C: A ∈ a, B ∈ b. Тогда три точки A, B и C не принадлежат одной прямой (почему?), и по аксиоме R 2 через них можно провести только одну плоскость. Обозначим её α.
Точки A и C прямой a принадлежат плоскости α, значит, плоскость α проходит через прямую a (аксиома R 4). Плоскость α проходит и через прямую b, так как точки B и C этой прямой принадлежат плоскости α.
Таким образом, плоскость α проходит через прямые a и b, следовательно, является искомой.
Докажем единственность плоскости α. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые a и b, плоскость β.
Так как плоскость β проходит через прямую a и не принадлежащую ей точку B, то по теореме 1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана. ▼
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Если прямые a и b параллельны, то пишут a ‖ b.
Следствие 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
Доказательство. Пусть a и b — данные параллельные прямые. Из определения параллельных прямых следует, что через прямые a и b можно провести плоскость. Обозначим её α и убедимся, что она единственна.
|
|
Допустим противное. Пусть существует другая плоскость, отличная от α, которая содержит каждую из прямых a и b. Обозначим эту плоскость β.
Выберем на прямой a точки B и C, на прямой b — точку A. В силу параллельности прямых a и b точки A, B и C не принадлежат одной прямой.
Каждая из плоскостей α и β содержит обе прямые a и b, значит, каждая из них проходит через точки A, B и C. Но по аксиоме R 2 через эти точки можно провести лишь одну плоскость. Следовательно, плоскости α и β совпадают. Теорема доказана. ▼
Из аксиомы R 2 и теорем 1, 2 и 3 следует, что плоскость в пространстве можно задать:
тремя точками, не принадлежащими одной прямой;
прямой и не принадлежащей ей точкой;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми.
В дальнейшем вы узнаете, что задать плоскость в пространстве можно и другими определяющими её элементами.
Применяя аксиомы стереометрии и первые следствия из них, вы сможете решать стереометрические задачи, т. е. задачи, в которых исследуются некоторые свойства геометрических фигур, расположенных в пространстве. К стереометрическим относятся, например, задачи на построение сечений многогранников плоскостями.
Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.
Как уже говорилось при обсуждении аксиомы R 5, плоскость не может пересечь грань многогранника по ломаной, а имеет с ней либо общий отрезок, либо общую точку (вершину многогранника), либо не имеет с ней общих точек. Число сторон многоугольника-сечения не может превышать числа граней многогранника. Причём если пересечением плоскости и многогранника является точка (вершина многогранника) или отрезок (ребро многогранника), то эту плоскость не будем называть секущей.