1°. Бесконечно малая последовательность ограничена.
2°. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей дает бесконечно малую последовательность.
3°. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
4°. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
5°. Если элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность будет бесконечно большой.
6°. Если бесконечно большая последовательность и , то последовательность – бесконечно малая.
Примерыбесконечно малых последовательностей:
1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn = qn при |q| <1 является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого e > 0 из неравенства следует, что при неравенство выполняется, начиная с номера .
2) Последовательность – бесконечно малая, т.к. ее элементы являются произведением элементов ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности .
|
|
3) Последовательность – бесконечно малая, т.к. является суммой бесконечно малых последовательностей и .
4) Последовательность – бесконечно малая, т.к. является произведением бесконечно малой последовательности на бесконечно малую последовательность .
Замечание. Последовательности { na } при a >0 являются бесконечно большими, а при a <0 - бесконечно малыми последовательностями.