Пусть из генеральной совокупности X, распределённой по нормальному закону N(μ;σ), взята случайная выборка объёмом n и вычислена выборочная дисперсия S2. Требуется определить с надёжностью γ интервальные оценки для генеральной дисперсии σ2 и среднего квадратического отклонения σ при малом объёме выборки (n ≤ 30).
Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии основывается на том, что случайная величина имеет распределение Пирсона (χ2) с k = n – 1 степенями свободы.
Для выбранной доверительной вероятности γ = 1 – α, учитывая, что имеет распределение χ2 с k = n – 1 степенями свободы, можно записать:
Далее по таблице χ2-распределения нужно выбрать такие два значения и , чтобы площадь, заключённая под дифференциальной функцией распределения χ2 между и , была равна γ = 1 – α.
Обычно и выбирают так, чтобы
Тогда имеем
Так как таблица χ2-распределения содержит лишь , то для вычисления запишем следующее тождество:
Осуществив подстановку значений, получим:
|
|
Отсюда
Эта формула используется при решении обратной задачи – нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии.
Причём
Преобразовав двойное неравенство окончательно получим:
Это и есть доверительный интервал для генеральной дисперсии, когда неизвестно значение генеральной средней и по выборке объёмом n вычисляется выборочная дисперсия S2.
Ширина доверительного интервала для генеральной дисперсии равна:
Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения σ при n ≤ 30 равен:
При достаточно больших объёмах выборки (n > 30) значения и определяют по формулам:
а доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения определяется по формуле:
где t – нормированное значение нормальной случайной величины, соответствующее заданной надёжности γ и определяемое по таблице функции Лапласа Ф(t).
Пример 3. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение S = 5 мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надёжностью γ = 0,95 доверительный интервал для параметра σ.
Решение. Так как n < 30, то используется χ2-распределение:
По таблице χ2-распределения для числа степеней свободы k = n – 1 = 8 и найденных вероятностей 0,975 и 0,025 определяем, что = 2,180 и = 17,535.
Вычисляем и .
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения равен:
и окончательно получаем: 3,6 ≤ σ ≤ 10,2 (мм).