– предел функции двух переменных в точке.
Основные теоремы о пределах
1. – если предел функции двух переменных существует, то он единственный.
2.
.
3. .
4. .
5. .
6. .
7. , .
Непрерывность функции в точке
Условия непрерывности функции в точке
1. определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.
2. . 3. .
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут образовывать целые лини разрыва.
Частные производные первого порядка
– частная производная функции в точке по переменной х.
– частная производная функции в точке по переменной у.
– угловой коэффициент касательной к сечению поверхности плоскостью .
– угловой коэффициент касательной к сечению поверхности плоскостью .
Частные производные высших порядков
Частные производные второго порядка функции , смешанные частные производные второго порядка:
.
Частные производные третьего порядка функции , смешанные частные производные третьего порядка.
|
|
.
Теорема Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
Дифференцируемость и полный дифференциал
Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и –необходимое условие дифференцируемости функции.
Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой: –достаточное условие дифференцируемости функции.
–полный дифференциал первого порядка функции двух переменных.
–частный дифференциал первого порядка функции двух переменных.
–частный дифференциал первого порядка функции двух переменных.