.
1. Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям эрмитового оператора, ортогональны:
. (6.7)
Здесь предполагается, что .
Если , то для собственных функций будет условие нормировки. Однако возникает проблема – нормировочный интеграл расходится.
. (6.8)
Причина – нельзя в непрерывном спектре брать точное значение F, необходимо рассматривать бесконечно малый интервал значений F, F+dF. При этом собственную функцию надо заменять «волновым пакетом» :
.
Тогда нормировочный интеграл расходиться не будет:
,
и можно вместо функций пользоваться волновыми пакетами. Однако на практике их использование сильно усложняет математический аппарат квантовой механики. Тем не менее, как показал П. Дирак, все же можно сохранить собственные функции , но только изменить условие их нормировки, а именно, заменить соотношения (32) и (33) единым:
. (6.9)
Это условие ортонормировки собственных функций оператора с непрерывным спектром. Принято говорить, что для непрерывного спектра собственные функции должны быть нормированы на дельта-функцию Дирака.
|
|
2. Система собственных функций полная.
Как и раньше, это означает, что произвольная функция Ψ (ξ), удовлетворяющая стандартным условиям, можно быть представлена в виде интегрального разложения по собственным функциям :
. (6.10)
Для нахождения коэффициентов разложения a(F) умножим соотношение (6.10) на и проинтегрируем по ξ:
Мы использовали нормировочное соотношение (6.9) и свойство 3 дельта-функции Дирака. Получаем:
. (6.11)
Если функция Ψ (ξ) нормирована, то, подставив в условие ее нормировки разложение (6.10), можно получить его критерий полноты этого разложения:
. (6.12)
3. Условие полноты системы собственных функций
Оно имеет вид (сравни с (6.6):
. (6.13)
Из-за важности свойств собственных функций операторов для практических приложений математического аппарата квантовой механики суммируем эти свойства в виде таблицы.
Случай дискретного спектра | Случай непрерывного спектра |
1.Условие ортонормировки | 1.Условие ортонормировки |
2.Свойство полноты | 2.Свойство полноты |
3.Условие полноты | 3.Условие полноты |
Из сравнения формул двух столбцов видно, что свойства аналогичны, если делать замены:
n F, φn(ξ) φ(F,ξ), , δmn δ(F’-F).
Отметим еще важное свойство собственных функций двух операторов. Пусть есть два линейных эрмитовых оператора , и известны решения их уравнений на
|
|
собственные функции и собственные значения:
и .
Тогда можно доказать два свойства:
1. Если операторы и коммутируют,
т.е. , то у них будет общая система собственных функций: .
2. Если у операторов и общая система собственных функций, т.е. , то они коммутируют: ۰ = ۰ .
Лекция 7
ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ