Общее решение однородной системы

       Рассмотрим однородную систему (2), соответствующую системе (3).

                                              (2)

 Так как все , то формулы (7) принимают вид

         (13)

- это и есть общее решение однородной системы (2).

       Выше (п. 16) было отмечено, что совокупность  решений однородной системы образует линейное пространство. Чтобы определить его размерность и построить базис, воспользуемся понятием изоморфизма линейных пространств. Каждому решению  системы (2) поставим в соответствие вектор  - элемент некоторого -мерного координатного пространства. Так как произвольно выбранные свободные неизвестные  однозначно определяют решение  и, наоборот, в любом решении однозначно определены последние  неизвестных, то предложенное соответствие является взаимно однозначным. Как следует из формул (13), при таком соответствии сохраняются линейные операции. Значит, это соответствие есть изоморфизм: пространство  решений однородной линейной системы с  неизвестными и рангом  матрицы коэффициентов изоморфно пространству :

~ .

Осталось построить базис в -мерном  пространстве  решений линейной однородной системы. Любой базис в , т.е. любой набор из  линейно независимых решений однородной системы (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР). В силу изоморфизма для построения ФСР можно воспользоваться любым базисом в пространстве .

 

 

Простейший базис в  образуют векторы

       Соответствующее вектору  решение  системы (2) получим, полагая в формулах (13) . Результат записан в первой строке соотношений (14). Решение , соответствующее вектору  получим, полагая в (13)  - вторая строка в (14). Наконец, решение  получим, когда свободным неизвестным придадим значения , это решение записано в последней строке:

              (14)

       Заметим, что построенная система решений линейно независима (обратите внимание на единичную матрицу , ).

       Решения , определяемые формулами (14), образуют простейший базис в  - нормальную фундаментальную систему решений однородной системы (2). При наличии базиса любое решение  однородной линейной системы представляется в виде:

,                             (15)

где  - произвольные постоянные. Формула (15) даёт общее решение однородной системы (2).

Если , то фундаментальная система состоит из одного решения, т.е. решение однородной системы определяется с точностью до коэффициента пропорциональности - любые два решения отличаются лишь постоянным множителем.

Если , то единственным решением однородной системы является тривиальное.

 

       Пример 7. Пусть в системе (8) все правые части равны нулю. Построить нормальную фундаментальную систему решений и записать в виде (15) общее решение однородной системы.

Решение. Из формул (10) при замене чисел –23 и 16 нулями получаем общее решение однородной системы, соответствующей системе (8):

= .

 

Придавая свободным неизвестным  значения, соответствующие строкам единичной матрицы , найдём основные неизвестные  и построим частные решения  - нормальную ФСР. Результат удобно оформить в виде таблицы:

 

	1	-2	1	0	0
	1	-2	0	1	0
	5	-6	0	0	1

 

Решения  линейно независимы и образуют базис в пространстве решений однородной системы, поэтому общему решению  можно придать вид:

 

= .¨

 

Пример 8. Убедиться, что в качестве решения системы  уравнений с  неизвестными

можно взять совокупность миноров , полученных из матрицы системы

вычёркиванием поочерёдно каждого столбца, причём миноры берутся с чередующимися знаками.

Решение. Поскольку предложенная совокупность миноров с точностью до знака совпадает с  - алгебраическими дополнениями отсутствующей -ой строки, то в соответствии с примером 1 она представляет собой решение данной системы. Если хотя бы один из миноров отличен от нуля (т.е. ), то это решение и есть базисное, а все другие ему пропорциональны.¨

 

       Пример 9. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы двух уравнений с тремя неизвестными

.

       Решение. Следуя предыдущему примеру, составим матрицу из коэффициентов системы .

 

Вычислим её миноры, полученные вычёркиванием соответственно первого, второго и третьего столбца:

.

Значит,  - фундаментальное решение системы, а общее решение имеет вид , где  - произвольная постоянная.¨