Скрещивающиеся прямые

1 2

Конспект урока Математика

группа 92 профессия профессия тракторист-машинист сельскохозяйственного производства 1 курс 24.03.20

Тема: «Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами.

Форма работы: индивидуальная, дистанционное обучение

Тип урока: урок изучения и закрепления нового материала

Цели урока

– ввести понятие скрещивающихся прямых, доказать признак скрещивающихся прямых.

Используемая литература; Геометрия 10-11 классы, учебник для общеобразоватю организаций, базовый и углубленный уровни. Атанасян Л.С. и др.- 6 изд.- М.: Просвещение, 2019г

Ход урока

Повторение ранее изученного материала

- Ответьте на вопросы:

1. Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?

2. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве?

(Покажите на чертежах)

Изучение нового материала

Скрещивающиеся прямые

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство. Пусть прямая а лежит в плоскости α, а прямая b пересекает эту плоскость в точке В, не лежащей на прямой а.

Докажем, что прямые а и b скрещивающиеся, т.е. не существует плоскости, в которой они обе лежат. Предположим, что прямые а и b лежат в некоторой плоскости β. Тогда плоскость β проходит через прямую а и точку В, а следовательно, совпадает с плоскостью α (так как через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость).

Получили, что прямая b лежит в плоскости α, а это противоречит условию теоремы. Таким образом, наше предположение неверно, а значит, прямые а и b – скрещивающиеся.

Теорема доказана.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная второй прямой, и притом только одна.

Доказательство. Пусть а и b – скрещивающиеся прямые. Докажем, что через прямую b проходит плоскость, параллельная прямой а.

Через какую-либо точку B прямой b проведем прямую с, параллельную прямой а.

Пусть α – плоскость, проходящая через прямые b и с. Так как прямая а не лежит в плоскости α и параллельная прямой с, лежащей в этой плоскости, то прямая параллельная плоскости α.

Плоскость α – единственная плоскость, проходящая через прямую b и параллельная прямой а.

Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую b, пересекается с прямой с, а, следовательно, пересекается и с параллельной ей прямой.

Теорема доказана.

Углы с сонаправленными сторонами

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Два луча ОА и О1А1 (рис. 1), не лежащие на одной прямой, называются ««направленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1. Два луча ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.