Генеральная и выборочная средние

План:

1. Понятия генеральной и выборочной средней и методы их расчета.

2. Оценка генеральной средней по выборочной средней.

 

1. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака .

 

Определение 1. Генеральной средней   называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

 

Если все значения  признака генеральной совокупности объема  различны, то

.

Если же значения признака  имеют соответственно частоты , причем , то

или .

    Пусть все значения  различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью , то можно найти математическое ожидание признака :

.

    Итак, если рассматривать обследуемый признак генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака, то есть

.

    Такой же итог будет получен, если допустить, что генеральная совокупность содержит по нескольку объектов с одинаковым значением признака.

    Обобщая полученный результат на генеральную совокупность с непрерывным распределением признака , полагают, что генеральная средняя равна математическому ожиданию, то есть

.

    Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака  произведена выборка объема .

 

    Определение 2. Выборочной средней  называют среднее арифметическое значений выборочной совокупности.

        

    Если все значения  признака выборочной совокупности объема  различны, то

.

    Если же значения признака  имеют соответственно частоты , причем , то

или .

Пример. Выборочным путем были получены сведения о сдаче одного экзамена 15 человек с факультета из 50: 5, 4, 5, 3, 4, 3, 3, 5, 5, 4, 4, 5, 3, 3, 4. построить дискретный вариационный ряд и найти выборочную среднюю.

 

Решение.

	3	4	5
	5	5	5

.

- средняя оценка на экзамене.

 

2. Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема  со значениями признака . Будем считать эти значения признака различными.

Пусть генеральная средняя неизвестна и требуется найти ее по данным выборки. В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю

.

Покажем, что  - несмещенная оценка, то есть докажем равенство

.

Будем рассматривать  как случайную величину и  - как независимые, одинаково распределенные случайные величины . Поскольку эти величины одинаково распределены, то они имеют одинаковое математическое ожидание, которое обозначим через . Так как математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин, то

.

    Приняв во внимание, что каждая из величин  имеет то же распределение, что и генеральная совокупность, можно отметить, что и числовые характеристики этих величин и генеральной совокупности одинаковы. Тогда, математическое ожидание  каждой из величин равно математическому ожиданию признака  генеральной совокупности, то есть

, следовательно .

    Таким образом, мы доказали, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней.