Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
Обозначения:
· Базисные орты — это векторы .
· Зафиксированная точка О – это начало координат.
Отложим от точки O векторы .
Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.
· Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:
Пример 11.
· Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
– порождает Ox;
– порождает Oy;
– порождает Oz.
· Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz.
· Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:
где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора
Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
· Орт направления — это вектор единичной длины данного направления.
Скалярное произведение векторов .
· Скалярное произведение двух векторов — это число где
· Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:
· Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) — не нулевой вектор и , если — нулевой вектор.
· Длина вектора :
Пример 13.
· Косинус угла между векторами:
· Проекция вектора на вектор :
· Условие перпендикулярности ненулевых векторов и :
· Векторное произведение векторов :
1) модуль где
2)
3) тройка векторов — правая.
· Алгебраические свойства векторного произведения:
1)
2)
3)
4)
· Выражение векторного произведения в декартовых координатах:
· Геометрические свойства векторного произведения:
1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна:
2) Условие коллинеарности ненулевых векторов и :
· Двойное векторное произведение векторов:
· Смешанное произведение векторов:
· Объем параллелепипеда:
Пример 14.
· Объем пирамиды:
Пример 15.
· Условие компланарности :