Основные обозначения и определения

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

№ 5 (21)

Содержание
1.	Основные обозначения и определения………….............................................	3
2	Предел функций нескольких переменных………...........................................	6
3	Непрерывность функций нескольких переменных………………………….	9
4	Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области……	10

Лекция 5 (21)

 

Функция двух переменных. Основные понятия. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.

 

 

Основные обозначения и определения

Множество всех вещественных чисел – числовую ось обозначим :

;

множество всех точек плоскости обозначим :

;

множество всех точек пространства обозначим :

;

множество всех точек -мерного пространства обозначим :

.

Определение 1.1. Пусть  некоторое множество -мерного пространства : . Функцией нескольких переменных (функцией  переменных), определенной на множестве  и принимающей значения на множестве  называется закон или правило , которое каждой точке  ставит в соответствие единственный элемент

и обозначается

.

Для краткости записи точку  обозначим через , а вместо ,  используем обозначения , .

Определение 1.2. Множество  называется областью определения функции, а множество  называется областью значений функции  и обозначаются  и , соответственно.

Пример 1.1. Найти область определения функции  и изобразить ее на чертеже.

Решение. Областью определения квадратного корня  являются такие значения , для которых подкоренное выражение принимает неотрицательное значение . Имеем

.

Этим множеством является круг радиуса  с центром  в начале координат. Изображение области определения функции приведено на рис. 1.

Пример 1.2. Найти область определения функции  и изобразить ее на чертеже.

Решение. Областью определения обратной тригонометрической функции  являются такие значения , для которых . Имеем

.

Этим множеством является круг кольцо, заключенное между окружностями  и . Изображение области определения функции приведено на рис. 2.

Рис. 1                                               Рис. 2

Изучать функции нескольких переменных удобно, рассматривая функции двух переменных  вследствие их геометрической наглядности. Получаемые при этом результаты могут быть обобщены на случай большего числа независимых переменных.

Определение 1.3. Окрестностью ( -окрестностью) точки  называется совокупность всех точек , лежащих внутри круга радиуса  с центром в точке  и обозначается :

или в развернутой форме

.

Определение 1.4. Точка  называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая окрестность этой точки, целиком лежащая в множестве , то есть существует такое , что .

Определение 1.5. Множество  называется открытым множеством, если любая точка этого множества является его внутренней точкой.

Определение 1.6. Множество  называется связным множеством, если любые две его точки можно соединить ломанной, целиком лежащей в множестве .

Определение 1.7. Множество  называется областью, если оно одновременно и открытое и связное.

Определение 1.8. Точка плоскости  называется граничной точкой множества , если в любой окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие множеству , так и точки, ей не принадлежащие. Множество всех граничных точек множества  называется границей множества  и обозначается .

Определение 1.9. Точка плоскости  называется предельной точкой множества , если в любой окрестности этой точки содержится точка, принадлежащее множеству , отличная от точки . Множество всех предельных точек множества  обозначается .

Определение 1.10. Множество  называется замкнутым множеством, если все его предельные точки принадлежат этому множеству, то есть . Если к данному множеству  присоединить все предельные точки этого множества, то полученное множество называется замыканием множества  и обозначается .

Пусть  – произвольное множество. Любая предельная точка этого множества либо является точкой этого множества, либо точки границы. Поэтому, для замыкания множества получим ещё одно представление .

Определение 1.11. Множество  называется ограниченным множеством, если существует круг, целиком содержащий данное множество.

Определение 1.12. Область  называется односвязной областью, если для любой замкнутой линии, лежащей в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области .