П.1. Линейные источники

Рассмотрим линейный непоглощающий изотропный источник с линейной мощностью q_L (част./(с·см)). Обозначим длину источника 2 L. Необходимо найти плотность потока в точке Р, которая расположена произвольно относительно источника.

Рис. П.1

а). Точка Р расположена сбоку от источника на расстоянии r от него (рис. П.1). Перпендикуляр, опущенный на линейный источник в точке О, делит источник на части L ₁ и L ₂.

Возьмем произвольную точку А на линейном источнике, обозначим расстояние ОА буквой l, а угол ОРА – . Если бы в точке А находился точечный изотропный источник мощностью q, то в точке Р плотность потока, создаваемая этим источником, была бы равна φ = q /4π·(АР) ². Но поскольку у нас линейный источник с заданной линейной мощностью q_L, рассмотрим бесконечно малое приращение dl выбранного отрезка ОА длиной l. Тогда плотность потока g-квантов d j в точке Р, создаваемую элементом dl излучающей поверхности, можно записать как

(П.2)

Теперь нужно определиться с переменной интегрирования – l или ? Выберем сначала в качестве переменной интегрирования угол , тогда АР = r /cos (из Δ АОР), dl = AB /cos (из Δ АBC), а АВ = АР ·sin d (Δ АBР)[62], тогда

(П.3)

(вспомним, что ).

Запишем

(П.4)

и, проинтегрировав d φ по , получим искомую плотность потока в точке Р, создаваемую данным линейным источником,

[63].

(П.5)

Если L ₁ = L ₂, то

(П.6)

Решим эту же задачу, выбрав другую переменную интегрирования – произвольное расстояние l от точки А на линейном источнике. Тогда плотность потока в точке Р от элемента линейного источника dl будет равна , а плотность потока от всего линейного источника[64]

(П.7)

Рис. П.2

Следовательно, второй вариант решения, с переменной l гораздо проще. Отсюда можно сделать следующий вывод: от удачного выбора переменной интегрирования зависят не только время, затраченное на получение необходимой величины, и степень трудоемкости этого процесса, но и подчас, возможность решения поставленной задачи.

б). Если точка Р, в которой необходимо найти плотность потока частиц находится на оси источника (рис. П.2), то выбор переменной интегрирования очевиден – это dl. Тогда , а полная плотность потока[65]

(П.8)

Рис. П.3

в). Плотность потока в точке Р (рис. П.3), находящейся на высоте h над плоскостью, в которой расположен линейный источник, выражается интегралом . Введя новую переменную x = l + R, получим

(П.9)

Кольцевой линейный источник. Линейные источники не обязательно прямолинейные. На практике, например, трубопровод, через который протекает радиоактивный газ или раствор,

Рис. П.4

•

Рис. П.5

•

d ϑ

может располагаться по окружности в помещении достаточно большого объема. Если диаметр трубопровода много меньше линейного размера трубопровода и расстояния до точки детектирования, то можно рассматривать трубу как тонкий (линейный) источник в виде кольца. В таких случаях обычно известна объемная активность (мощность) источника А_V (q_V). Если нужно найти плотность потока от линейного источника, нужно перейти к линейной активности (мощности). Найдем плотность потока в точке Р, находящейся в центре кольцевого источника, радиус которого равен R (рис. П.4). Линейная активность источника А_L будет связана с объемной А_V соотношением

(П.10)

где А – полная активность источника. Произвольная точка А на окружности задается произвольным углом , линейный элемент окружности – бесконечно малым приращением угла Учитывая малость , можно заменить круговой элемент dl на окружности отрезком АВ, который является основанием равнобед-ренного треугольника АВР. Из Δ АВР элемент окружности dl = 2 R ×sin (при малых ). Тогда в центре кольца плотность потока от элемента dl будет равна

d j =

(П.11)

а полная плотность потока в точке Р

(П.12)

Аналогично находится плотность потока на высоте h над центром кольцевого источника, имеющего радиус R (рис. П.5): и

П. 2. Поверхностные источники

(П.13)

Рис. П.6

Рассмотрим поле излучения поверхностных источников с удельной мощностью q_s (част./(см²·с)), предполагая равномерное распределение мощности источника по его поверхности и отсутствие самопоглощения в источнике.

Дисковый источник. Рассмотрим элемент поверхности диска в виде кругового кольца ds, находящийся на расстоянии

r от центра диска (рис. П.6). Его площадь ds = 2π× r×dr [66].

Этот элемент поверхности испускает q_s×ds g-квантов, обусловливая плотность потока в точке Р, равную , где х – расстояние от точки Р до элемента поверхности ds, .

Плотность потока в точке Р от всего диска равна[67]

(П.14)

Рис. П.7

Источник в виде сферической поглощающей поверхности. Рассмотрим сферический источник с радиусом R, поверхность которого покрыта тонким слоем излучающего вещества с удельной мощностью q_s (част./(см²·с)). Будем считать, что излучение, идущее внутрь шара, полностью поглощается (сфера поглощающая), т.е. в формировании дозы над поверхностью сферы участвует только видимая из точки детектирования Р часть ее поверхности, ограниченная касательными, проведенными из точки Р к поверхности шара (рис. П.7). В качестве элемента поверхности ds удобно выбрать шаровой слой излучающей сферы. Как известно, шаровой слой – часть шара, вырезаемая из него двумя параллельными плоскостями. В данном случае эти параллельные плоскости проходят через точки В и D перпендикулярно прямой, соединяющей центр шара с точкой Р, в которой будем искать плотность потока частиц. Тогда плотность потока от шарового слоя ds в точке Р, находящейся на расстоянии (r – R) от поверхности сферы, можно записать в виде , где х – расстояние от точки Р до шарового слоя ds (на рис. П.7 отрезок PN).

Кривая боковая поверхность шарового слоя ds равна произведению высоты слоя BD на длину окружности с радиусом, равным радиусу шара: ds = 2p R × BD. Из рисунка П.7 видно, что OB = R× cosJ; OD = R× cos(J+ d J);

BD = OB - OD = R ×[cosJ - cos(J+ d J)][68] =

Тогда ds = -2p× R ²× d (cosJ). Запишем для D OPN теорему ко-синусов: x ² = r ² + R ²- 2 Rr ×cosJ, откуда Найдем производную cosJ по х: . Максималь-ное значение, которое может принимать х, равно а минимальное значение равно x _min = r - R, тогда . Таким обра-зом, полная плотность потока j в точке Р будет равна