Метод Сімпсона (метод парабол або криволінійних трапецій)

Цей метод близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування[а,в] на множину відрізкіав(N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку  підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(х) (рис 1.5, рис.1.6), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій

 

 

Площа кожної такої такої трапеції (див. рис.1.5.) визначається за формулою Сімпсона:

 

 

Тобто

 

 

 

 

Рисунок 1.5                                         Рисунок 1.6

Тоді чичельне значення визначеного інтеграла на відрізку [а,в] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

 

або

 

 

де

 

Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції(дивюрис.1.5), яка отримується поділом відрізка [а,в] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовуєься лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона – апроксимація параболою.

Основна формула методу

 

 

Де Hi – коефіцієнти Ньютона-Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяції). Таким чином, коефіцієнти Ньютона-Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів та звести в таблицю1.1.

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона-Котеса[1].

Коефіцієнти Ньютона-Котеса Таб.1.1

N=1	Ho=H1=1/2
N=2	Ho=H2=1/6, H1=2/3
N=3	Ho=H3=1/8, H1=H2=3/8
N=4	Ho=H4=7/90, H1=H3=16/45, H2=2/15
N=5	Ho=H5=19/288, H1=H4=25/96, H2=H3=25/144
N=6	Ho=H6=41/840, h1=H5=9/35, H2=H4=9/280, H3=34/105
N=7	Ho=H7=751/17280,H1=H6=3577/17280, H2=H5=1323/17280, H3=H4=2989/17280

 

Метод Чебишева

Метод Чебишева грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції Yi=f(Xi),(i=1,2,…,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції Х1, Х2, …, Хn (де h=const). Коефіцієнти Ньютона-Котеса Hi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л. Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу

 

 

в якій квадратурні коефіцієнти Сі (і=1,2,…,N) зафіксовані, а абсциси Хі (і=1,2,…,N) підлягають визначенню.

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=С2=…=Сn. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють –1 та 1. Тоді формула 1.10 набере вигляду

 

 

Де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси Хі підлягають визначенню[2].

Коефіцієнти та вузли інтерполяції Хі визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду

 

Підставимо многочлен1.12 у ліву частину 1.11 та проінтегруємо

У праву частину рівності 1.11 підставимо значення многочлена 1.12 у вузлах Х1, Х2, …,Хn:

Тоді рівність1.13 набере вигляду

 

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень а0,а1,…,аn і таким чином, порівнюючи коефіцієнти аі в правій лівій частинах 1.15 знаходимо, що n*Cn=1, звідки

i, крім цього,

Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношення 1.13 отримаємо формулу Чебишева де точки Х1,Х2,…Хn визначаються із системи рівнянь 1.17.

Значення Х1,…,Хn для різних n обчислюються раніше та зводяться в таблицю 1.2.

Таблиця 1.2

Число ординат	Значення абсцис
N=2	-Х1=Х2=0.577350
N=3	-Х1=Х3=0.707107; Х2=0
N=4	-Х1=Х4=0.794654; -Х2=Х3=0.187592
N=5	-Х1=Х5=0.832498; -Х2=Х4=0.374541; Х3=0
N=6	-Х1=Х6=0.866247; -Х2=Х5=0.422519; -Х3=Х4=0.266635
N=7	-Х1=Х7=0.883862; -Х2=Х6=0.529657; -Х3=Х5=0.323912; Х4=0

 

Коли межі даного інтеграла відрізняються від –1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд

 

де

а Хі мають вказані в таблиці значення.

Метод Гауса

Для отримання підвищеної точності за чисельним інтегруванням користуються формулою Гаусса

 

 

в якій не фіксуються не тільки вузли інтерполяції Х1, Х2,…,Хn, а й квадратурні коефіцієнти С1,…,Сn. При цьому Zn невідомих величин Х1,Х2,…,Хn; С1,…,Сn визначається із умови, що формула є точною у випадку будь-якого многочлена 2n-1[1].

Таким чином, для будь-якого многочлена (2n-1)-й степені

 

повинна виконуватися рівність:

Многочлен f(x), степені якого рівні 2n-1, можна показати у вигляді

f(x)=F(x)Q(x)+R(x),(1.24)

де F(x)-шуканий многочлен n-ї степені, а Q(x) та R(X)- відповідно частинне від ділення f(x) на F(x) та залишок від цього ділення, степені многочленів Q(x) та R(x) не перевищують (2n-1).

Вираз для F(x) можна записати так:

тут величини Х1,…,Хn- шукані абсциси формули Гаусса, а А1,А2,…,Аn- постійні.

Оскільки шукана функція F(x) у вузлах Х1,…,Хn перетворюється на нуль, то

Тоді рівність 1.23 набере вигляду

Але для многочлена R(x) степені не вище n-1 також повинна бути точна рівність:

Bіднімаючи 1.28 1.27,отримаємо

 

 

Із останнього відношення можна визначити шукану функцію F(x). Оскільки рівність 1.29 справедлива для якого-небудь многочлена Q(x) степені n-1, тобто для многочлена вигляду

то вона при будь-яких коефіцієнтах  

отже, маємо таку систему рівнянь(1.31)

Підставляючи сюди вирази для F(x) із формули 1.25 та інтегруючи, отримаємо для визначення коефіцієнтів  систему n рівнянь(1.32)

з яких видно, що А1=А3=А5=А7=…=0 та, отже, шуканий многочлен має вигляд

 

 

Відмітимо, що при парному n корені рівняння F(x)=0 попарно рівні за абсолютним значенням, але протилежні за знаком, а при непарному n коренем є також і Х=0[1].

Визначивши із системи 1.32 коефіцієнти Аі (і=1,2,…,n), складемо рівняння F(x)=0 та знайдемо його корені Х1,…,Хn, тобто шукані абсциси формули Гаусса, а потім обчислимо коефіцієнти Сі (і=1,2,…,n) за формулою