Обязательное подтверждение соответствия 5 страница

 

Таблица 3.3. Значения коэффициента K в (3.31)
для косвенных измерений

		0,5	0,75	1	2	3	4	5	6	7	8
K	P = 0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,8	0,81
	P = 0,99	0,87	0,85	0,82	0,8	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

 

При нелинейном характере уравнения косвенного измерения закон распределения погрешности результата может существенно отличаться от закона распределения погрешности аргументов. Поэтому в этом случае для вычисления доверительных границ погрешности результата косвенного измерения используют метод линеаризации. Линеаризация уравнения косвенного измерения осуществляется путём его разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго порядка и выше:

 

, (3.40)

 

где  – нелинейная зависимость измеряемой косвенно величины X от аргументов x_i;

 – частная производная от функции косвенного измерения по i -му аргументу (коэффициент влияния i -го аргумента);

D _i – отклонение результата измерения i -го аргумента от его среднего арифметического;

 – частная погрешность;

R – остаточный член ряда Тейлора:

 

.                             (3.41)

 

Линеаризация нелинейной функции косвенного измерения путём её разложения её в ряд Тейлора и отбрасывания членов второго порядка и выше допустима, если выполняется условие

 

.                             (3.42)

 

При расчёте остаточного члена ряда Тейлора для проверки выполнения условия (3.42) отклонения D_i должны быть взяты из полученных значений погрешностей измерений аргументов и при этом быть приняты такими, чтобы они максимизировали выражение (3.41).

Результат косвенного измерения при нелинейном уравнении вычисляется по формуле

 

.                              (3.43)

 

СКО случайной погрешности при нелинейном уравнении измерения и некорелированных погрешностях измерений аргументов определяется по выражению

 

.                              (3.44)

 

Если распределение случайных погрешностей аргументов косвенного измерения при нелинейном уравнении измерения не противоречит нормальному закону, то доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения e (P) определяется по (3.37), а эффективное число степеней свободы распределения Стьюдента f_эф – по выражению

 

.             (3.45)

 

Границы НСП результата косвенного измерения q (P) при нелинейном характере уравнения измерения определяют по формуле

 

.                           (3.46)

 

Сравнение случайной и неисключённой систематической составляющих погрешностей результата косвенного измерения при нелинейном уравнении измерения производится так же, как и для линейного уравнения.

Результат косвенного измерения записывается в виде

 

.

 

Пример

Выполняется косвенное измерение плотности твёрдого тела по выражению . При многократных измерениях массы и объёма тела получены следующие результаты:  кг;  кг;  м³;  м³; D_V.max = 3,493×10^–7 м³; D _m.max = 3,799×10^–4 кг; n_m = n_V = 11. Систематические погрешности измерений аргументов исключены, их неисключёнными остатками можно пренебречь. Случайные погрешности аргументов подчиняются нормальному закону распределения. Требуется записать результат косвенного измерения плотности.

 

Решение

Уравнение косвенного измерения является нелинейным, поэтому необходимо воспользоваться методом линеаризации. Необходимо проверить выполнение условия допустимости линеаризации (3.42). Остаточный член ряда Тейлора для функции  имеет вид

 

 

Подставляя в полученное выражение вместо аргументов их оценки, и принимая знаки отклонений D V и D m противоположными, чтобы максимизировать значение остаточного члена ряда Тейлора, получим

 

 

СКО результата косвенного измерения плотности

 

.

 

Подставив вместо аргументов значения их оценок, получим

 

 кг / м².

 

;

7,613×10^–3 < 0,8×1,008,

 

следовательно, линеаризация допустима.

Результат косвенного измерения плотности

 

 кг / м².

 

Эффективное число степеней свободы распределения Стьюдента

 

 

 

Подставив вместо аргументов значения их оценок, получим

 

 

Табличное значение коэффициента Стьюдента для числа степеней свободы f_эф = 21 и доверительной вероятности P = 0,95 t_0,05 = 2,08.

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения плотности

 

 кг / м³.

 

Результат косвенного измерения плотности

 

r = (1294,5 ± 2,1) кг / м³; 0,95.

 

 

3.5. Частные случаи косвенных измерений

В некоторых случаях для простых уравнений косвенных измерений удаётся получить несложные формулы для расчёта погрешностей результата по известным погрешностям аргументов.

Ниже без вывода приведены несколько таких случаев.

1. Результат косвенного измерения равен алгебраической сумме аргументов:

 

.                                   (3.47)

 

В этом случае абсолютная погрешность результата равна алгебраической сумме абсолютных погрешностей аргументов:

 

,                                      (3.48)

 

где D – абсолютная погрешность результата косвенного измерения;

D _i – абсолютная погрешность i -го аргумента.

Если абсолютные погрешности аргументов заданы только своими границами (без учёта знаков), то суммирование в (3.48) должно выполняться по модулю.

2. Результат косвенного измерения получен в результате перемножения аргументов:

 

.                                     (3.49)

 

В этом случае суммируются относительные погрешности аргументов:

 

,                                     (3.50)

 

гдe d – относительная погрешность результата косвенного измерения;

d_i – относительная погрешность i -го аргумента.

3. Результат косвенного измерения получается при умножении аргумента на точное число:

 

,                                        (3.51)

 

где a = const.

При этом относительные погрешности результата косвенного измерения d и аргумента d_x равны по модулю:

 

.                                        (3.52)

4. Аргумент косвенного измерения возводится в степень, показатель которой является точным числом:

 

,                                       (3.53)

 

где n = const.

В этом случае относительная погрешность результата косвенного измерения

 

.                                      (3.54)

 

 

3.6. Обработка результатов совместных измерений

 

Цель совместных измерений – установление функциональной зависимости между двумя или более одновременно измеряемыми величинами. Предположим, что производятся одновременные измерения двух разноимённых величин x и y, связанных между собою зависимостью y = f(x). Если теперь построить график, на который будут нанесены истинная зависимость y = f(x) и точки с координатами (x_i; y_i) (рис. 3.1), полученными в результате измерений величин x и y, то, даже если предположить, что систематические погрешности измерения полностью исключены, точки с этими координатами не будут совпадать с графиком истинной зависимости из-за неизбежного наличия случайной погрешности измерений. Поэтому при обработке результатов совместных измерений возникает задача аппроксимации полученных экспериментальных результатов какой-либо аналитической зависимостью. Кроме того, необходимо оценить, насколько хорошо полученная аппроксимирующая зависимость соответствует истинной зависимости между измеряемыми величинами. Одним из наиболее распространённых подходов к решению этой задачи является метод наименьших квадратов (МНК). Суть данного метода заключается в следующем: параметры аппроксимирующей зависимости должны быть подобраны таким образом, чтобы сумма квадратов невязок (отклонений аппроксимирующей функции от экспериментально полученных значений) должна быть минимальна:

 

,                      (3.55)

 

где n – количество пар результатов измерений величин x и y.

 

При строгом математическом обосновании метода наименьших квадратов делают следующие допущения:

-   значения x должны быть известны точно;

-   результаты измерений y содержат только случайные погрешности, которые являются независимыми и подчиняются нормальному закону распределения.

 

Рис. 3.2. Результаты измерения величин x_i; y_i и аппроксимирующая функция y = f(x)

 

На практике метод наименьших квадратов даёт удовлетворительные результаты даже при отступлении от перечисленных требований. Так, например, вместо необходимости точного знания значений x достаточно, чтобы их погрешности были существенно меньше погрешностей y, чего практически всегда можно добиться путём соответствующей организации измерительного эксперимента.

Рассмотрим простейший, но распространённый случай линейной зависимости вида

 

.                                    (3.56)

 

Для данного случая условие метода наименьших квадратов примет вид

 

.                         (3.57)

 

Для нахождения величин a и b,при которых выражение (3.57) будет минимальным, необходимо взять от него частные производные по a и b и приравнять их нулю:

 

.                         (3.58)

 

Решив систему уравнений (3.58), получим

 

;                       (3.59)

.                       (3.60)

 

СКО погрешности величины y может быть найдено по выражению

 

,                            (3.61)

 

а СКО параметров a и b – по формулам

 

;                           (3.62)

.                           (3.63)

 

Доверительные границы случайной погрешности искомых коэффициентов:

 

;                                   (3.64)

,                                   (3.65)

 

где t_q;n–2 – квантиль распределения Стьюдента c n –2 степенями свободы, соответствующая вероятности .

Для обработки результатов совокупных измерений также применяется метод наименьших квадратов. Разница между обработкой результатов совместных и совокупных измерений заключается лишь в том, что при совместных измерениях выполняются одновременные измерения разноимённых величин, а при совокупных – одноимённых.

 

Пример

Проводились одновременные измерения температуры и сопротивления медной обмотки. Результаты измерений приведены в таблице

 

T, °С	20	40	60	80	100
R, Ом	53,82	58,18	62,16	65,97	69,82

 

Требуется найти сопротивление обмотки при 0 °С R₀ и температурный коэффициент сопротивления меди a.

 

Решение

Уравнение измерения имеет вид

 

.

 

Для приведения данного уравнения к форме (3.56) раскроем скобки:

 

.

 

Тогда в соответствии с (3.59) и (3.60) можно записать

 

;

.

Найдём численные значения сумм

 

 °C;  Ом; (°С)²;  Ом×°С.

 

Тогда значения искомых параметров

 

 Ом / °С;

 Ом;

 (°С)^–1.

 

Рассчитаем невязки:

 

 Ом; n₂ = 0,169 Ом;

n₃ = 0,17 Ом; n₄ = 0,001 Ом; n₅ = –0,128 Ом.

 

СКО измерения сопротивлений

 

 Ом.

 

СКО искомых параметров

 

 Ом / °С;

 Ом;

 (°С)^–1.

 

Доверительные границы погрешностей искомых параметров

 

 (°С)^–1;

 Ом.

 

Результат измерения

 

a = (3,98 ± 0,14)×10^–3 (°С)^–1; R₀ = (50,1 ± 0,7) Ом; 0,95.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Назовите основные правила записи результатов и погрешностей измерения.

2. Какая величина принимается за результат прямых измерений с многократными наблюдениями?

3. Для чего многократно повторяют измерение физической величины одного и того же размера?

4. Каким образом рекомендуется проводить проверку наличия грубых погрешностей при обработке прямых измерений с многократными наблюдениями?

5. Какая величина является характеристикой рассеяния результата многократных измерений?

6. Для чего при многократных измерениях выполняется проверка гипотезы о подчинении результатов наблюдений нормальному закону распределения?

7. Какими способами может быть проверена гипотеза о подчинении результатов наблюдений нормальному закону распределения?

8. Если отдельные результаты наблюдений подчиняются нормальному закону, то какому закону распределения будет подчиняться их среднее арифметическое?

9. Каким образом вычисляются доверительные границы случайной погрешности при обработке результатов прямых однократных измерений?

10. Как сравниваются неисключённая систематическая и случайная составляющая погрешности прямых однократных измерений при вычислении доверительных границ суммарной погрешности их результата?

11. Почему методики обработки результатов косвенных измерений при линейном и нелинейном характере уравнения измерения различаются между собой?

12. Какой метод используется при вычислении доверительных границ косвенных измерений при нелинейном характере уравнения измерения?

13. Каков критерий допустимости линеаризации нелинейного уравнения косвенного измерения путём его разложения в ряд Тейлора и отбрасывания членов второго порядка и выше?

14. Как можно сформулировать основную идею метода наименьших квадратов?

15. Сколько пар измерений величин x и y минимально необходимо для нахождения коэффициентов a и b в уравнении y = ax + b?

16. Какие требования предъявляются к погрешностям измерения величин при совместных измерениях для строгого обоснования метода наименьших квадратов?

17. В чём разница между методами обработки результатов совместных и совокупных измерений?

4. ЗАКОНОДАТЕЛЬНАЯ МЕТРОЛОГИЯ

 

 

4.1. Метрологическое обеспечение

 

Метрологическое обеспечение (МО) – установление и применение научных и организационных основ, правил и норм, направленных на достижение единства и требуемой точности измерений.

Единство измерений (ЕИ) – состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах, размеры которых равны (в установленных пределах) размерам единиц, воспроизводимых первичными эталонами, а погрешности результатов измерений известны и с заданной вероятностью не выходят за установленные пределы.

Обеспечение единства измерений (ОЕИ) – деятельность метрологических служб, направленная на достижение и поддержание единства измерений в соответствии с законодательными актами, а также правилами и нормами, установленными национальными стандартами и другими нормативными документами по обеспечению единства измерений.

Формами метрологического обеспечения являются: установление рациональной номенклатуры измеряемых параметров и оптимальных норм точности измерений при контроле качества продукции и управлении процессами; технико-экономическое обоснование и выбор средств измерений, испытаний и контроля и установление их рациональной номенклатуры; разработка, внедрение и аттестация современных методик выполнения измерений, испытаний и контроля (МВИ); контроль за соблюдением метрологических правил и норм на предприятии и пр.

Метрологическое обеспечение имеет четыре основы: научную, техническую, организационную и нормативную.

Научной основой метрологического обеспечения является научная метрология.

Техническую основу метрологического обеспечения составляют эталонная база страны, а также база стандартных образцов состава и свойств веществ и материалов.

Организационной основой метрологического обеспечения являются метрологические службы.

Нормативной основой метрологического обеспечения являются законодательные акты, нормативные документы, правила, и т. п., направленные на обеспечение единства измерений.

 

 

4.2. Эталоны

 

Эталон – это средство измерений (или их комплекс), предназначенное для воспроизведения и (или) хранения единицы величины, а также передачи её размера нижестоящим по поверочной схеме средствам измерений и утверждённое в качестве эталона в установленном порядке.

Поверочная схема – нормативный документ, устанавливающий соподчинение средств измерений, участвующих в передаче размера единицы физической величины от эталона рабочим средствам измерений (с указанием погрешности методов и погрешности при передаче).

Различают государственные и локальные поверочные схемы.

Государственная поверочная схема – поверочная схема, распространяющаяся на все средства измерений данной физической величины, имеющиеся в стране.

Локальная поверочная схема – поверочная схема, распространяющаяся на средства измерений данной физической величины, применяемые в регионе, отрасли, ведомстве или на отдельном предприятии (в организации).

Эталон должен обладать тремя существенными признаками – неизменностью, воспроизводимостью и сличаемостью.

Неизменност ь – свойство эталона удерживать неизменным размер воспроизводимой им единицы физической величины в течение длительного периода времени. Для обеспечения свойства неизменности разрабатываются так называемые «естественные» эталоны, то есть эталоны, в которых размер воспроизводимой и хранимой физической величины увязан с одной или несколькими фундаментальными физическими константами (например, скоростью света в вакууме, элементарным электрическим зарядом, постоянной Планка и т. д.).

Воспроизводимость – способность эталона воспроизводить единицу физической величины с наименьшей погрешностью для существующего уровня развития измерительной техники;

Сличаемость – возможность обеспечения сличения с эталоном других средств измерений, нижестоящих по поверочной схеме, с наивысшей точностью для существующего уровня развития измерительной техники.

Эталоны классифицируются по своему метрологическому назначению.

Первичный эталон – эталон, обеспечивающий воспроизведение единицы с наивысшей в стране точностью. Первичные эталоны могут быть специальными, национальными (государственными) и международными.

Специальный эталон – эталон, обеспечивающий воспроизведение единицы в особых условиях и служащий для этих условий первичным эталоном.

Национальный (государственный) эталон – эталон, признанный решением уполномоченного на то государственного органа в качестве исходного на территории государства;

Международный эталон – эталон, принятый по международному соглашению в качестве международной основы для согласования с ним размеров единиц, воспроизводимых и хранимых национальными эталонами.

Вторичный эталон – эталон, получающий размер единицы непосредственно от первичного эталона данной единицы. Вторичные эталоны служат для сохранности и меньшего износа первичного эталона. Различают следующие разновидности вторичных эталонов: эталон-свидетель, эталон-копия и эталон сравнения.

Эталон-свидетель – вторичный эталон, служащий для проверки сохранности и неизменности национального эталона и его замены в случае порчи или утраты.

Эталон-копия – вторичный эталон, предназначенный для передачи размера единицы рабочим эталонам. Эталоны-копии создаются в случае большого числа поверочных работ с целью предохранения первичного или специального эталона от преждевременного износа. Эталон-копия не обязательно должен являться полной физической копией первичного эталона.

Эталон сравнения – эталон, применяемый для сличений эталонов, которые по тем или иным причинам не могут быть непосредственно сличены друг с другом. Эталон сравнения, например, может использоваться при сличении национального эталона с международным.

Рабочий эталон (иногда используют устаревшее название образцовое средство измерений) – эталон, предназначенный для передачи размера единицы рабочим средствам измерений. При необходимости рабочие эталоны подразделяют на разряды (1-й, 2-й, …, n -й).

Пример построения поверочной схемы с указанием порядка соподчинения эталонов приведён на рис. 4.1.

 

Рис. 4.1. Пример компоновки поверочной схемы.
1 – первичный эталон; 2 – метод передачи размера единицы с указанием погрешности при передаче; 3 –эталон-копия; 4 – эталон-свидетель; 5 –рабочий эталон 1-го разряда; 6 – рабочий эталон 2-го разряда; 7 – рабочий эталон 3-го разряда; 8 – рабочий эталон 4-го разряда; 9 – рабочие средства измерений наивысшей точности; 10 – рабочие средства измерений высокой точности; 11 – рабочие средства измерений средней точности; 12 – рабочие средства измерений низкой точности.

 

Совокупность государственных первичных и вторичных эталонов, являющаяся основой обеспечения единства измерений в стране, образует эталонную базу страны.