Открытые множества. Понятие топологического пространства

Элементы топологии

Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества

 

Напомним, что в точечном евклидовом пространстве Eⁿ расстояние между точками P(x₁, x₂,… x_n), Q(y₁, y₂,… y_n) вычисляется по формуле

 

r(P, Q) =,

 

если координаты точек заданы относительно ортонормированной системы координат. Мы можем рассматривать это расстояние, как функцию, сопоставляющую двум точкам P и Q число r(P, Q). Функция r обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û P = Q.

Пусть теперь M - произвольное множество, элементы которого будем называть точками. Пусть на M задана функция r, сопоставляющая любым двум точкам P, QÎM число r(P, Q), которое называется расстоянием между этими точками, и такая что выполнены свойства (аксиомы) 1, 2, 3. Тогда пара (M, r) называется метрическим пространством, а функция r - метрикой.

Примеры 1. Пусть V - произвольное подмножество евклидова пространства. Расстояние между двумя точками P, QÎV будем считать таким же, как во всем пространстве. Тогда (V, r) - метрическое пространство. Метрика r называется индуцированной из Eⁿ.

2. Сфера S² в трехмерном геометрическом пространстве. Расстояние r₁ между P, QÎ S² определяется как длина кратчайшей кривой по поверхности, соединяющей P и Q. Как известно, этой кривой является дуга большой окружности (у которой радиус равен радиусу сферы).

Мы также можем определить расстояние как в примере 1: r(P, Q) - это длина хорды PQ. Тогда (S², r₁) и (S², r) - это разные метрические пространства.

3. Определим на плоскости расстояние между точками A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) по формуле r₂(A, B)=|x₂ - x₁|+|y₂ - y₁|. Получается, что r₂(A, B) равно длине ломаной AMB, изображённой на следующем чертеже.

Упражнение. Самостоятельно про-верьте, что для плоскости с метрикой r₂ выполняются все аксиомы метрического пространства.

Диаметром множества V в метрическом пространстве (M, r) называется точная верхняя грань расстояний между точками этого множества:

 

d(V) =  r(P, Q).

 

Расстоянием между двумя множествами V, W называется точная нижняя грань расстояний между точками этих множеств:

 

r(V, W) =  r(P, Q).

 

В частности, если одно из множеств состоит из одной точки, то получаем определение расстояния от точки до множества.

Почему в этом определении супрэмум, а не максимум, инфинум, а не минимум? Поясним на примере.

Пример. Пусть V - это открытый (без границы) круг радиуса 1 на плоскости с центром в начале координат, а W = Q (2,0). Тогда d(V) = 2, хотя таких точек, расстояние между которыми равно 2 в V нет. Таким образом, максимум не достигается. Аналогично, r(Q, V) = 1, хотя такой точки PÎV, что r(Q, P) = 1 не существует. Значит, минимум не достигается.

Отметим, что если множества пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Обратное неверно. Например, если W есть прямая x = 1, то r(V, W) = 0, но V IW=Æ.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется ограниченным, если d(V)<¥.

Заметим, что и всё метрическое пространство может быть ограниченным, как например, (S², r₁).

Упражнение. Чему равны диаметры метрических пространств (S², r₁) и (S², r)?

 

Открытые множества. Понятие топологического пространства

 

Обозначим U (P,e)={QÎM| r(P, Q)<e} - открытый шар в метрическом пространстве (M, r). В частности, на плоскости это будет открытый круг, а на прямой - интервал.

Определение. Пусть V - некоторое множество в метрическом пространстве (M, r). Точка PÎV называется внутренней точкой этого множества, если она входит в V вместе с некоторым содержащим её

открытым шаром, т.е. если существует такое e>0, что U (P,e)ÌV.

Определение. Множество VÌ(M, r) называется открытым, если все его точки являются внутренними для этого множества. Пустое множество считается открытым.

Определение. Множество V в евклидовом пространстве называется связным, если для любых точек P, QÎV существует непрерывная кривая gÌV, соединяющая P и Q.

Это привычное определение связного множества обладает существенным недостатком: мы ещё не знаем, что такое «непрерывная кривая», и даже не знаем, что такое кривая. Тем более это определение не годится для произвольного метрического пространства. Математически более точное определение требует пояснений.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется несвязным, если его можно представить в виде объединения V=V₁UV₂ двух непересекающихся множеств, каждое из которых открыто в V (в индуцированной топологии).

Представим себе, что множество состоит из двух непересекающихся частей V₁ и V₂, которые не являются открытыми во всём метрическом пространстве, а P - точка, лежащая на границе V₁. Рассмотрим метрическое пространство (V, r) c индуцированной из M метрикой. Тогда шар U (P,e) в (V, r) выглядит так, как это

показано на рисунке. Согласно определению, точка P оказывается внутренней точкой множества V₁. Аналогично, это верно и для произвольной точки множества V₁. Таким образом, V₁ оказывается открытым в V. Такая ситуация оказывается невозможной, если V связно в интуитивном понимании этого слова.

Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, r) называется связным, если оно не является несвязным. Открытое связное множество называется областью. Любая область, содержащая точку P, называется окрестностью этой точки.

Теорема 1. I. Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

II. Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Оставим эту теорему без доказательства.

Следующий пример показывает, что пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым.

Пример. Пусть

V₁= (-2; 2), V₂ = (-1,5; 1,5), V₃ = (-; ),…, V_i = (-1 - ^; 1 +), … Тогда V_i = [-1, 1].

Определение. Говорят, что система всех открытых подмножеств метрического пространства (M, r) образует топологию этого пространства. Эта система обозначается буквой t.

Мы выяснили, совокупность подмножеств t обладает следующими свойствами:

I. V₁, V₂, V₃,…Î t Þ V_iÎ t (J - множество индексов);

II. V₁, V₂, V₃,…, V_nÎ t Þ V_iÎ t;

III. ÆÎ t, MÎ t.

Определение. Пусть M - произвольное множество, на котором задана система подмножеств t, удовлетворяющая аксиомам I, II, III. Тогда пара (M, t) называется топологическим пространством, а t - топологией. Множества, входящие в t будем называть открытыми.

Мы видим, что любое метрическое пространство является топологическим. Та топология, которая определяется на нём метрикой r, называется метрической топологией.

Пусть (M, t) - топологическое пространство, а F - подмножество в M. Тогда мы можем задать на F топологию, т.е. превратить F в топологическое пространство следующим образом. Множество VÌF назовём открытым, если существует множество W, открытое во всем M, такое, что V=WIF. Такая топология на F называется индуцированной из (M, t).

Для нас наиболее важен случай, когда F - это поверхность в трёхмерном пространстве. Получается, мы можем определить, что такое открытое множество на поверхности.