2020-04-20
235
Определение. Пусть = c (t) - параметрическое уравнение кривой g, А = c (а), B= c (b) - две точки на кривой (a<b). Разобьём промежуток [a, b]:
= to<t1 <t2 < … < tn-1<tn = b.
Тогда ломаная с вершинами
c (а), c (t1), c (t2),…, c (tn-1), c (b)
называется вписанной в кривую.
Будем неограниченно измельчать это разбиение так, чтобы длина максимального звена ломаной стремилась к нулю:
d = | c (ti+1) - c (ti)| -® 0.
Определение. Если при этом длина ломаной
l =| c (ti+1) - c (ti) |
стремится к определённому пределу L, то L называется длиной участка пути c (t) от a до b.
Подчеркнём, что данная величина может не совпадать с длиной кривой от А до B, поскольку путь по кривой может осуществляться с «возвратами» (например, вписанная ломаная может выглядеть,
как на втором рисунке). Но если c (t) - это гладкая и регулярная параметризация, то величина L будет длиной дуги кривой g от А до B, потому что в точках, где движение по кривой меняет направление, обязательно выполняется c ¢ = , что невозможно для регулярной параметризации.
|
|
|
Теорема 3. Пусть c (t) - гладкая параметризация кривой g. Длина дуги кривой g от точки А = c (а)до точки B = c (b) вычисляется по формуле
L (А, B)= | c ¢(t)| dt. (9)
При этом эта величина не зависит от выбора конкретной параметризации кривой g, т.е. при допустимой замене параметра, эта величина не изменяется.
Доказательство. Длина ломаной, вписанной в кривую, равна сумме длин её звеньев:
l = | c (ti+1) - c (ti)|.
Добавим и отнимем справа два выражения:
| c ¢(ti)| (t i+ 1 - t i), | c ¢(t)| dt,
а затем сгруппируем:
= | c ¢(t)| dt + { | c ¢(t i) | (ti + 1 - t i) - | c ¢(t)| dt} +
+ { | c (ti+1) - c (ti) | - | c ¢(ti)| (t i + 1 - ti)},
Первая фигурная скобка стремится к нулю при измельчении разбиения по определению интеграла. Вторую перепишем так:
(t i + 1 - ti) { - | c ¢(ti)|}
Выражение в фигурных скобках стремится нулю по определению производной, а
(ti+1 - ti) = b - a,
поэтому и всё выражение стремится к нулю. Получается, что при измельчении разбиения длина вписанной ломаной стремится к
| c ¢(t)| dt.
Пусть теперь t = j(u) - допустимая замена параметра, f(u) = c (j(u)), a=j(u1), b= j(u2). Тогда j - монотонная функция.
1 случай. Функция j - возрастающая. Тогда j¢>0 и u1 < u2. В соответствии с формулами замены параметра в определенном интеграле получаем
| f ¢(u)| du = | c (j(u))¢u| du = | c t¢· j¢u| du = | c ¢(t)| j¢u du = | c ¢(t)| dt.
2 случай. Функция j - убывающая. Тогда j¢<0 и u1 >u2. Поэтому u1 будет верхним пределом, а u2 - нижним. При перестановке пределов в определенном интеграле меняется знак, а j¢u выносится из-под модуля со знаком минус; оба минуса компенсируют друг друга:
| f ¢(u)| du = | c (j(u))¢u| du = | c t¢· j¢u| du = - | c ¢(t)| (- j¢u) du =
|
|
|
= | c ¢(t)| j¢u du = | c ¢(t)| dt.
Таким образом, формула для вычисления длины одинакова, как для параметра t, так и для параметра u на кривой g.
Определение. Выберем произвольную точку A = c (to) на кривой g и будем от неё отсчитывать длину кривой до произвольной точки В, в одну сторону со знаком «+», в другую - со знаком «-»; т.е. если длина дуги АВ равна s, то точке В приписывается новое значение параметра s или - s. Тем самым на кривой получается новый параметр s, который называется естественным параметром кривой. Если параметр, с помощью которого задана кривая, является естественным, то такая параметризация называется естественной параметризацией кривой.
Естественная параметризация означает, что в качестве параметра на кривой выбрана длина дуги, отсчитываемая от некоторой начальной точки A в одну сторону - со знаком «+», а в другую - со знаком «-».
Если A= c (to), В= c (t), то в соответствии с теоремой 3
s(t) = ± | c ¢(t)| dt (10)
Это формула для нахождения естественного параметра. В качестве to можно выбирать любое значение из интервала, на котором кривая определена и регулярна, и знак «+» или «-» можно выбирать по желанию, но для всей кривой сразу. В дальнейшем, мы считаем, что в данной формуле выбран знак «+».
По формуле дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом
= | c ¢(t) |.
Обозначим естественную параметризацию кривой той же буквой c: c (s)= c (t(s)), тогда
= =: =,
т.е. d c /ds - это единичный вектор, что и следовало ожидать, потому что при движении по кривой с естественным параметром мы за единицу изменения параметра проходим единицу пути. Дифференцирование по параметру s будем обозначать точкой:
= (s).
Мы установили, что | (s) | =1, значит единичный направляющий вектор касательной - это t =(s). Кроме того, равенство |(s)|=1 равносильно ||2= · = 1. Продифференцируем последнее равенство:
(·)¢s = 0 Û · + · = 0 Û · = 0.
Это означает, что в случае естественной параметризации
^. (**)
Благодаря этому очень многие формулы упрощаются.
Вектор параллелен соприкаюсающейся плоскости, а в силу (**) он перпендикулярен касательной, значит он направлен по главной нормали, т.е.
n|| Þ n =/||. Тогда b= t ´ n= ´/||. Итак,
t =, n =, b =.
(именно, учитывая последнее равенство, мы делаем вывод, что n , для того, чтобы тройка (t, n, b) - получалась правой). Главная нормаль имеет уравнение:
= =,
а спрямляющая плоскость:
(so) (x - xo) + (so) (y - yo) + (so) (z - zo) = 0.
Отметим также, что если А = c (s1), B = c (s2), то длина участка кривой от А до B вычисляется очень просто: L (А, B)= | s2 - s1|.
