Эконометрика – наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.
Эконометрика – это дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и приемов, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария получать количественное выражение качественным закономерностям. Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей, через эконометрические модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений. От математико-статистического, эконометрический подход отличается тем вниманием, которое уделяется в нем вопросу соответствия выбранной модели изучаемому объекту, рассмотрению причин, приводящих к необходимости пересмотра модели на основе более точной системы представлений.
Эконометрика занимается, по существу, статистическими выводами, т.е. использованием выборочной информации для получения некоторого представления о свойствах генеральной совокупности. Наиболее распространенными эконометрическими моделями, являются производственные функции и модели, описываемые системой одновременных уравнений.
Метод наименьших квадратов – традиционный метод, используемый для составления функциональной зависимости. Предполагает минимизацию квадратов отклонений значений результирующего фактора, рассчитанного с помощью функции от его фактического значения.
Корреляционный анализ – является одним из методов эконометрического анализа взаимозависимости нескольких признаков. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.
Парный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными:
Его значения изменяются в пределах от -1 до 1, причем, чем ближе значение коэффициента по абсолютной величине к единице, тем сильнее
7
зависимость между переменными. В табл. 2 представлена оценка тесноты линейной связи с помощью коэффициента корреляции (r).
Таблица 2
Оценка тесноты линейной связи
Значение | Теснота линейной связи |
0 – 0,1 | Связь отсутствует |
0,1 – 0,3 | Слабая |
0,3 – 0,5 | Умеренная |
0,5 – 0,7 | Заметная |
0,7 – 0,9 | Высокая |
0,9 – 0,99 | Очень высокая |
1 | Функциональная |
При r > 0 связь прямая, т.е. с ростом х растет у.
При r < 0 связь обратная, т.е. с ростом х убывает у.
Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель.
Значимость коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое (фактическое) значение находится по формуле:
где r – значение частного или парного коэффициента корреляции;
l – порядок частного коэффициента корреляции, т.е. число фиксированных факторов. Для парного коэффициента корреляции l = 0.
Найденное значение сравнивается с табличным (приложение 1). Если tфакт > tтабл, то линейный коэффициент корреляции значим и существует связь между показателями х и у.
Квадрат коэффициента корреляции – коэффициент детерминации. Он показывает какая доля изменений результативного признака обусловлена изменением показателя х.
Регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных Xj (j = 1; k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины
8
,
где – средние квадратические отклонения
;
.
Параметр определим из соотношения:
.
Получим уравнение:
.
Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение урожайности за счет изменения соответствующих факторов и фиксированного уровня другого так, коэффициент при х1 показывает, что увеличение (или снижение) количества внесения удобрений на 1 ц ведет к повышению (или снижению) урожайности зерновых на 0,976 ц. Соответственно коэффициент при х2 определяет меру зависимости урожайности зерновых от насыщенности севооборота.
1. Для определения линейного коэффициента множественной корреляции используем формулу:
Коэффициент множественной корреляции показывает наличие зависимости (связь умеренная) между анализируемыми признаками. Коэффициент множественной детерминации = 0,4952 = 0,245 свидетельствует, что 24,5% изменения урожайности зерновых связано с анализируемыми признаками.
3. Для проверки статистической значимости (существенности) множественного коэффициента корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:
21
Решение
1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:
,
где – урожайность зерновых с 1 га, ц;
х1 – внесено органических удобрений на 1 га, ц;
х2 – насыщенность севооборота, %;
а, b1 и b2 – параметры уравнения.
Для расчета параметров а, b1 и b2 сначала построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе:
где - стандартизированные переменные;
β1 и β2 – стандартизированные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные коэффициенты регрессии определим по формулам:
Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид:
.
Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность зерновых. Более значимое влияние оказывает первый фактор, а именно, количество внесенных органических удобрений. В целом же можно сказать, что влияние факторов на урожайность практически одинаково.
Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2, используя формулы перехода от βi к bi:
20
независимо от истинного закона распределения Xj. Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид:
у = b0 + b1∙xi1 + b2∙xi2 +...+ bj∙xij +...+ bk∙xik.
Отметим, что эта модель линейна относительно неизвестных параметров b0, b1, b2,..., bj,..., bkи аргументов. Коэффициент регрессии bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.
Классическая линейная регрессионная модель с одной переменной – это модель вида:
уi = b0 + b1∙x + u,
в которой x – детерминированная (неслучайная) величина, u – случайная составляющая; у – результативный признак.
Статистическую значимость уравнения регрессии определяют с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое (фактическое) значение находится по формуле:
Найденное значение сравнивается с табличным (приложение 2). Если фактическое значение критерия больше табличного, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи r, то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.
Оценить качество модели регрессии можно с помощью средней ошибки аппроксимации:
Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.
9
Коэффициент эластичности характеризует силу связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора х на 1%. Средний коэффициент эластичности линейной зависимости можно рассчитать по следующей формуле:
Обобщающий коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1% относительно своего среднего уровня.