Криволинейные координаты

Положение точки тела можно задавать не только тремя декартовыми координатами, но и другими упорядоченными тройками скалярных параметров, взаимно однозначно и непрерывно связанных с декартовыми координатами.

Определение. Каждой точке  с координатами  сопоставим три упорядоченных числа  по некоторому правилу:

Назовем , i = 1, 2, 3,  криволинейными координатами точки М. Функции  взаимно однозначны и непрерывно дифференцируемы по всем координатам и имеют обратные функции в некоторой области взаимной однозначности

Определение.

Три вектора    

называются базисом криволинейных координат в точке .

Компоненты векторов базиса записаны в декартовом базисе.

Векторы базиса изменяются при изменении положения точки :

Длины  векторов базиса (коэффициенты Ламе) вычисляются по формулам:

Каждый вектор базиса касается соответствующей координатной линии, вдоль которой изменяется только одна координата, а две другие фиксированы. Например, первая координатная линия запишется так:

В криволинейной системе координат в каждой точке   координатные линии  пересекаются  в этой точке.

Определение. Поверхности уровня функций

называются координатными поверхностями, проходящими через точку  

Определение. Три вектора градиентов к соответствующим координатным поверхностям

называются векторами кобазиса в точке .

 Изменение векторов базиса при изменении положения точки  разложим по базису:

.

В последнем выражении опущен знак суммирования по паре индексов суммирования   когда один из них находится вверху, а другой – внизу (правило Эйнштейна).

Далее при написании формул будет использоваться правило Эйнштейна.

Коэффициенты   называются символами Кристоффеля второго рода. Они симметричны по нижним индексам:

Поэтому число различных символов Кристоффеля меньше двадцати семи.

Можно показать, что векторы базиса и кобазиса взаимны, то есть их скалярные произведения равны символу Кронекера:

Символы Кристоффеля вычисляются следующим образом:

Векторы базиса  в общем случае не ортогональны и не нормированы, однако имеются системы координат, для которых это не так.

Определение. Криволинейная система координат называется ортогональной системой координат, если векторы базиса ортогональны:

В этом случае вводится ортонормированный базис

Можно показать, что для ортогональных криволинейных координат нормированные векторы базиса и кобазиса совпадают.