Параграф 1. Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
Квант. 08.01.01. Определение изолированной особой точки однозначной аналитической функции (О)
Рассмотрим однозначную функцию и точку в которой функция не является аналитической
Пусть аналитична в некоторой проколотой окрестности точки
(в самой точке функция может быть и не определена).
Тогда точка называется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции
Квант. 08.01.02. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции (О)
Рассмотрим изолированную особую точку однозначной аналитичекой функции
В проколотой окрестности точки
в которой функция аналитична, разложим ее в ряд Лорана
Тогда
1) Если главная часть в разложении Лорана отсутствует, т.е.
то точка называется устранимой особой точкой.
2) Если главная часть разложения Лорана содержит конечное число членов, т.е.
то точка называется полюсом, а число называется порядком полюса. При полюс называется простым.
|
|
3) Если главная часть разложения Лорана содержит бесконечное число членов, то точка называется существенно особой точкой.
Рассмотрим поведение функции в проколотой окрестности особой точки.
Квант. 08.01.03. Поведение функции в устранимой особой точке (Т)
Рассмотрим однозначную аналитическую функцию
Пусть ее устранимая особая точка
Тогда для этого необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела конечный предел
Доказательство.
1) Пусть устранимая особая точка. Тогда в проколотой окрестности имеет место разложение
и, следовательно, существует конечный предел
Полагая , мы получим функцию аналитическую в точке (устраним особенность).
Обратно, пусть функция аналитична в проколотой окрестности точки , и существует конечный предел
Следовательно, функция ограничена в замкнутом круге
Оценим коэффициенты главной части разложения Лорана (так же как мы оценивали коэффициенты Тейлора)
Устремляя к нулю, получим и, следовательно, . Это значит, что главная часть разложения Лорана отсутствует и точка является устранимой особой точкой.
Замечание.
Полагая
мы получим функцию аналитическую в точке (устраним особенность).
Пример.
Эта функция является отношением двух аналитических функций и, следовательно, аналитична во всех точках кроме тех, где знаменатель обращается в нуль. То есть кроме точек , которые являются изолированными особыми точками (в них функция не определена). Рассмотрим точку
Доопределим нашу функцию в этой точке, положив Получим функцию аналитическую в точке
|
|
Точка для этой функции является полюсом первого порядка (простым полюсом). Поскольку в разложении в ряд Лорана в окрестности точки (по степеням правильная часть отсутствует, а главная состоит из одного члена
Вычислим предел
Это свойство (равенство предела бесконечности) является характеристическим для полюса.