Рассмотрим однозначную аналитическую в функцию
Пусть
Тогда
где верхняя и нижняя половинки окружности
Доказательство.
Пусть Учитывая неравенство
оценим интеграл
Лемма Жордана доказана.
Пример. Вычислить интеграл
Этот интеграл сходится условно. Вычислим его, используя лемму Жордана и формулу Эйлера
Рассмотрим функцию Эта функция не имеет особых точек в верхней полуплоскости, но имеет полюс на действительной оси. Поэтому возьмем замкнутый контур, состоящий из отрезков верхней полуокружности , проходимой по часовой стрелке и верхней полуокружности , проходимой против часовой стрелки (см. рис.).
Внутри этого контура нет особых точек функции, поэтому интеграл по контуру в силу теоремы Коши равен нулю:
Устремим к бесконечности, а - к нулю. Тогда
Найдем предел
Подынтегральная функция разлагается в ряд Лорана в проколотой окрестности нуля
где
аналитическая в окрестности нуля функция и, следовательно, ограниченная в этой окрестности
|
|
Имеем
Следовательно